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作者:丛雨

审核:时光

全文约 2500 字,阅读需要 10 ~ 15 分钟

引言

要把探测器送往火星,总共需几步?一般来讲,从地球发向其他行星的探测器的飞行过程大致分为三个阶段:火箭发射升空并绕地球运行变轨加速以脱离地球引力前往目标行星抵达后在目标行星上环绕或着陆。其中一三阶段时间短但步骤和细节繁杂,而二阶段将占据飞行器旅程的大部分时间。本文将从航天器的运动和轨道问题出发,介绍天体运动和变轨问题的一些简单知识。

三种宇宙速度

我们将首先从航天器的速度问题开始。

众所周知,水平方向抛出的物体,初速度越快,落点越远,当它的速度达到 7.9 km / s 时,便再也无法落回地面,将仅在地球引力的影响下环绕地球做匀速圆周运动。这便是地球的第一宇宙速度,是发射人造卫星的最小初速度,也是以圆轨道绕地球运动的最大线速度。

如果发射时初速度达到约 11.2 km / s,即地球的第二宇宙速度时,飞行器就能恰好完全摆脱地球的引力,且之后无需加速。天体的第二宇宙速度又称逃逸速度,以逃逸速度从天体表面沿任何方向发射的无动力物体,在引力作用下速度会慢慢减小,当飞行至无穷远时速度恰好为 0。逃逸速度是第一宇宙速度的  倍,可用动能和引力势能(  ,无穷远处为势能零点)相互转化来计算,这一过程中,动能逐渐转换成引力势能,直到无穷远处双双为 0。

第三宇宙速度是同时脱离地球和太阳引力所需的最小发射初速度,与方向任意的第二宇宙速度不同,它要求飞行器的初始运动方向必须与地球公转相同,从而可以借助地球公转的速度,减少燃料消耗。根据上文可知,地球轨道处太阳的逃逸速度是圆轨道速度 29.8 km / s 的  倍,约 42.1 km / s,因此飞行器除了需要二者相差的 12.3 km / s 对应的动能来脱离太阳引力,还需另外的 11.2 km / s 对应的动能以逃离地球,这两个动能数值之和对应的速度就是第三宇宙速度 16.7 km / s。

显然,往返于地球与其他行星之间的行星际飞行器,目的地距离地球较远,可以说需要完全克服地球引力,但又不会离开太阳的引力范围,因此它们的速度通常介于  和  之间。

如何将飞船送往其他行星,简谈航天器的运动和轨道问题-风君子博客

第二和第三宇宙速度的推导过程

不同速度的轨道

其次,我们考虑不同的轨道速度和发射方向所对应的具体轨道形状。

最简单的情形是物体沿水平方向抛出。第一宇宙速度  的轨道形状是圆形,假如速度略大于此,物体的向心加速度将大于引力所提供的,轨道将会是一个椭圆 —— 以地球中心为焦点,发射位置为近地点。而随着初速度的增大,椭圆将越来越扁,远地点高度、半长轴和偏心率也慢慢增加,倘若以第二宇宙速度  发射,轨道的偏心率将变成 1,半长轴和远地点距无穷大,也就是一个开放的抛物线轨道。如果初速度比  还大,飞行器相对地球的轨道将是双曲线的一支,偏心率大于 1,半长轴在天体力学中被定义为一个负值。

而回顾一下那些发射速度小于  的平抛运动,严格来讲,它们的轨迹其实也是椭圆,只是初速度很小时,椭圆同样很扁,离心率无限接近 1,因此可以当作抛物线来看待。这时的初始抛射位置是椭圆的远地点,近地点则在地球内部。

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不同大小的水平发射速度的轨道形状

实际上,除去竖直向上发射这一种特殊情况,当物体的初速度分别小于、等于和大于  时,哪怕发射方向并非水平,轨道依旧会分别是椭圆、抛物线和双曲线,不过方向不同的情况下,椭圆或双曲线的半长轴和偏心率、抛物线的焦距也有所不同。对于这些方向并非水平的情形,若已知速度大小和矢径长度,我们可以通过计算物体的机械能来判断轨道形状和半长轴的大小,动能与势能之和小于、等于或大于 0 分别对应着椭圆、抛物线和双曲线轨道。由于二体问题中系统的机械能  ,继而可以求得它们的半长轴  。

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以 v1 和 v2 沿不同方向发射时的轨道

变轨运动与霍曼转移

最后,让我们来到航天器的变轨话题上。由于实际的变轨和轨道设计必然极其复杂,因此以下只介绍一些简单的理论和思路。

考虑一艘在近地轨道以圆形绕地球运转的飞船或卫星,突然沿原本的运动方向点火加速。此时它的运动速度将大于此处的圆轨道环绕速度,向心加速度也将大于圆周运动所需,轨道变成以加速位置为近地点的椭圆轨道,这与我们上文谈论的地表速度介于  和  之间的情形相同。待它运行至远地点,飞船再沿运动方向进行一次适当的加速,使速度恰好等于当前距离的环绕速度,它便成功地变轨至一个半径比最初更大、高度比原来更高的圆轨道上 —— 这就是变轨操作的基本思路。而降低轨道高度只需逆向操作,减速降至椭圆轨道,并在近地点再次减速即可。

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卫星的变轨过程图示

当然,变轨后的轨道并不一定必须是圆,短时间内引擎单次点火释放的能量也许不足以抵达目标高度,可以等卫星环绕一圈返回初始位置后再次点火,或采用每次达到远地点都进行加速的多次变轨方式,此时的卫星轨道就是一个个大小不同的椭圆环环相套;加速(或减速)的位置也并不仅局限于远地点(或近地点),但是将目标轨道设置为远地点的方法,消耗的燃料是最少的 —— 更大的初速度则代表着需要更高的初动能,而以恰到好处的初速度前往确定的位置,自然可以节约能量。

把上述双切轨道推广到不同行星之间也是一样的,这种以内行星轨道上的某一位置作为近日点、外行星轨道上的某一位置作为远日点,且与两行星轨道均相切的轨道被称作霍曼转移轨道,是行星际旅行最节省能源的路线。飞往外行星时沿地球公转方向加速,靠近目标行星时再次加速追赶;前往内行星时朝公转的反方向减速,接近目标行星时再次减速停留。因为太阳系的诸多行星处于不断的运动之中,它们与地球的相对位置也在时刻改变,所以行星际飞行器发射的最佳时机是呈周期性变化的,它等同于地球和目标行星的会合周期。

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地球到火星的霍曼转移轨道

霍曼转移由于路程远且速度慢,消耗的时间太长,某些时候仅仅为了节约燃料却浪费大量时间似乎有些得不偿失,因此还可以采用抛物线轨道,即需达到地球轨道处太阳的逃逸速度(相对地球的初速度当然是 16.7 km / s),在出发和抵达阶段花费更多燃料加速和减速。下表列出了去往各行星所需的时间,可以看出与双切霍曼转移轨道相比,抛物线轨道的确耗时极短。

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霍曼轨道和抛物轨道的所需时间对比

最后值得一提的是,各大行星轨道都并非正圆,且轨道倾角各不相同,不仅如此,行星际飞行器的飞行途中还要计算目标之外行星的引力摄动,甚至太阳爆发的影响和穿越小行星带的安全问题也是必须考虑的,真实的轨道设计工作自然不是三言两语能够讲述清楚的,本文便只做这些简略介绍,权当抛砖引玉之用。

本文来自微信公众号:APC 科学联盟 (ID:apcscience),作者:APC 君