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目录集合与元素全集与空集子集集合的运算集族，幂集和集合的划分

集合与元素

集合与元素：集合是元素的全体。

标记法 集合通常用大写字母表示，元素通常用小写字母表示。术语“p) 是 A) 的元素”等价于“p) 属于 A)”，记作 pin A) 。

外延公理 两个集合 A) 和 B) 相等当且仅当其元素相同。如果集合 A) 和 B) 相等，则记作 A=B)，否则记作 A
e B) 。

集合的表示 集合有两种基本的表示方法：一是枚举元素，二是描述元素的特征性质。例如：V = {a,e,i,o,u }) 或 V = {x | x ext{是元音字母} }) 。

常用的集合及其表示

全集与空集

全集 记号为 U) 。

空集 没有元素的集合，又称“零集”，记号为 varnothing)，或者 { }) 。

空集的特性

forall A : Asubseteq varnothing Rightarrow A = varnothing)
pvarnothing) = { varnothing })
cardvarnothing)=0)
forall A : varnothing subseteq A ; A cup varnothing = A; A cap varnothing = varnothing; A imes varnothing = varnothing)

子集

如果集合 A) 的每个元素都是集合 B) 的元素，则称 A) 为 B) 的一个子集。也称 A) 包含于 B) 或者 B) 包含 A) 。记作 Asubseteq B) 。

集合的运算

集合的并交

属于 A) 或者属于 B) 的所有元素的集合，称为集合 A) 和 B) 的并集，记作 Acup B)，即 Acup B = { x:xin A ext{或} xin B }) 。

属于 A) 并且属于 B) 的所有元素的集合，称为集合 A) 和 B) 的交集，记作 Acap B)，即 Acap B = { x:xin A ext{且} xin B }) 。

集合的补

所有属于全集 U) 但不属于 A) 的元素构成的集合，记作 A’) 或者 A^c) 。即：

[A^c= { x:x in U,x
otin A }
]

相对补/差

集合 B) 关于集合 A) 的相对补，或称集合 A) 与集合 B) 的差，记作 A-B) ，是由所有属于 A) 但不属于 B) 的元素构成的集合，即：

[A-B = { x:xin A, x
otin B } = A cap B^c
]

集合的基本积

对于 n) 个不同的集合 A_1, A_2, cdots, A_n) 它们的基本积是以下形式的任一集合：

[A_1^* cap A_2^* cap cdots cap A_n^* A_i^* = A 或 A_i^* = A^c)
]

对称差

集合 A) 和 B) 的对称差，记作 Aoplus B) 。是所有属于 A) 或 B) 但不同时属于 A) 和 B) 的元素的集合。即：

[Aoplus B = { x: x in A land x
otin B) lor x
otin A land xin B) }
]

集族，幂集和集合的划分

集族

集合的集合称为集类或者集族。集族中的元素（集合），称为子类或子族。

幂集

对于给定的集合 S) ，其所有可能子集的族，称为集合 S) 的幂集。记作：PowerS)) 。如果 S) 为有限集，则 PowerS)) 也是有限集。

划分

设 S) 是一个非集合，S) 的一个划分是将 S) 剖分为一些不交叠的非空子集。即：S) 的一个划分是 S) 的一族非空子集 {A_i}) 满足：

S) 中的每个元素 a) 属于一个 A_i) ；
{A_i}) 中的集合互不相交，即对于两个不同的集合，A_i ∩ A_j = 0) 。

划分中的子集叫胞腔。

[partitionS) = { A | forall x in S, exists A o x in A) land forall A_i, forall A_j, A_i
eq A_j o A_i cap A_j = varnothing)}
]