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高考数学-基本不等式知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用

一．基本不等式

1.1)若 a,b R ，则 a2 b2 2ab 2)若 a,b R ，则 ab a 2 b2当且仅当 a b 时取“=”)

2

2. 1)若 a, b R* ，则 a b ab 2

2)若 a, b R* ，则 a b 2 ab 当且仅当 a b 时取“=”)

3)若 a, b R* ，则 ab a b 2 当且仅当 a b 时取“=”)

2

3.若 x 0 ，则 x 1 2 当且仅当 x 1 时取“=”);若 x 0 ，则 x 1 2 当且仅当 x 1 时取“=”)

x

x

若 x 0 ，则 x 1 2即x 1 2或x 1 -2 当且仅当 a b 时取“=”)

x

x

x

3.若 ab 0 ，则 a b 2 当且仅当 a b 时取“=”)

ba

若 ab 0 ，则 a b 2即 a b 2或 a b -2 当且仅当 a b 时取“=”)

ba

ba

ba

4.若 a,b R ，则 a b)2 a2 b2 当且仅当 a b 时取“=”)

2

2

注：1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的

积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

应用一：求最值

例 1：求下列函数的值域

1)y＝3x 2＋21x 2

2)y＝x＋1x

解：1)y＝3x 2＋21x 2 ≥2 3x 2·2×1 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞)

2)当 x＞0 时，y＝x＋1x ≥2

1 x·x ＝2；

当 x＜0 时， y＝x＋1x = －－ x－1x )≤－2 ∴值域为－∞，－2]∪[2，+∞)

解题技巧： 技巧一：凑项

1 x·x =－2

例 1：已知 x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值。

4

4x 5

解：因 4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又 4x 2)g 1 不是常数，所以对 4x 2 要进行拆、凑项，

2020-04-01

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