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mod运算，即求余运算，是在整数运算中求一个整数 x 除以另一个整数y的余数的运算，且不考虑运算的商。在计算机程序设计中都有MOD运算，其格式为： modnExp1,nExp2)，即是两个数值表达式作除法运算后的余数。

模p运算编辑

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式

n = kp + r 其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。

对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：

取模运算：a mod p 表示a除以p的余数。

模p加法：a + b) mod p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，a+b) = kp +r，则 a+b) mod p = r。

模p减法：a-b) mod p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：a × b) mod p，其结果是 a × b算术乘法除以p的余数。

可以发现,模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律，如：

模p相等

如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做

a ≡ b mod p)

可以证明，此时a、b满足 a = kp + b，其中k是某个整数。

对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同的规则。在四则运算中，如果c是一个非0整数，则

ac = bc 可以得出 a =b

但是在模p运算中，这种关系不存在，例如：

3 x 3) mod 9 = 0

6 x 3) mod 9 = 0

但是

3 mod 9 = 3

6 mod 9 =6

定理（消去律）：如果gcdc,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p 可以推出 a ≡ b mod p)

证明：

因为ac ≡ bc mod p)

所以ac = bc + kp，也就是ca-b) = kp

因为c和p没有除1以外的公因子，因此上式要成立必须满足下面两个条件中的一个

1) c能整除k

2) a = b

如果2不成立，则c|kp

因为c和p没有公因子，因此显然c|k，所以k = ck'

因此ca-b)=kp可以表示为ca-b) =ck'p

因此a-b = k'p，得出a ≡ b mod p)

如果a = b，则a ≡ b mod p 显然成立

得证

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