宝塔服务器面板，一键全能部署及管理，送你10850元礼包，点我领取

概率的定义：

描述性定义：
在相同的条件下，独立重复地做$N$次试验，当试验次数$N$很大时，如果事件$A$发生的频率 f N A ) f_NA) fN​A)稳定地在$[0,1]$内的某一个数值$p$，而且一般来说随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值$p$为事件$A$发生的概率，记为$PA)=p$。

公理化定义：
设$E$为随机试验，$\Omega$是它的样本空间，对于$E$的每一个事件$A$赋予一个实数，记为$PA)$，如果集合函数$P\cdot )$满足下列条件：
1)非负性：对于每一个事件$A$，$PA)⩾0$；
2)规范性：$P\Omega )=1$
3)可列可加性：对于两两互斥的事件 A 1 , A 2 , . . . , A i , . . . , A j , . . . , A n A_1,A_2,…,A_i,…,A_j,…,A_n A1​,A2​,...,Ai​,...,Aj​,...,An​，即 A i A j = ϕ i ≠ j ) A_iA_j = \phii \neq j) Ai​Aj​=ϕi̸​=j)有： P ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ P A n ) P\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}PA_n) Pn=1⋃∞​An​)=n=1∑∞​PAn​)则称实数$PA)$为事件$A$的概率。

概率的性质：

性质1：
不可能事件$\varphi$的概率为0，即$P\varphi )=0$

性质2：
有限可加性，若 A 1 , A 2 , . . . , A i , . . . , A j , . . . , A n A_1,A_2,…,A_i,…,A_j,…,A_n A1​,A2​,...,Ai​,...,Aj​,...,An​为两两互斥事件，即 A i A j = ϕ i ≠ j ) A_iA_j=\phii \neq j) Ai​Aj​=ϕi̸​=j)，则有 P ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P A i ) P\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}PA_i) Pi=1⋃n​Ai​)=i=1∑n​PAi​)

性质3：
设$A$，$B$是两个事件，$PB-A)=PB)-PBA)$；特别的，若$A\subset B$，则:
1)$PB-A)=PB)-PA)$,
2)$PB)⩾PA)$

性质4：
对于任一事件$A$，有$PA)⩽1$

性质5：
对于任一事件$A$，有 P A ‾ ) = 1 − P A ) P\overline A) = 1-PA) PA)=1−PA)

性质6：
对于任意两个事件$A$、$B$有$PA\cup B)=PA)+PB)-PAB)$;特别地，若$A$与$B$互斥，则有$PA\cup B)=PA)+PB)$。
上述公式通常称为概率加法公式： P ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P A i ) − ∑ 1 ⩽ i &lt; j ⩽ n P A i A j ) + ∑ 1 ⩽ i &lt; j &lt; k ⩽ n P A i A j A k ) + . . . + − 1 ) n − 1 P A i A j . . . A n ) P\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}PA_i)-\sum_{1\leqslant i &lt; j \leqslant n}PA_iA_j)+\sum_{1\leqslant i &lt; j &lt;k \leqslant n}PA_iA_jA_k)+…+-1)^{n-1}PA_iA_j…A_n) Pi=1⋃n​Ai​)=i=1∑n​PAi​)−1⩽i<j⩽n∑​PAi​Aj​)+1⩽i<j<k⩽n∑​PAi​Aj​Ak​)+...+−1)n−1PAi​Aj​...An​)

重要的概率关系公式：

事件独立性：
事件相互独立，即多个事件的发生相互之间没有影响，或不提供任何信息引起其他事件的发生。若$A$、$B$两事件相互独立，则有$$PAB)=PA)PB)$$
德摩根定律：
两个集合的交集的补集等于它们各自补集的并集：
A B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{AB}=\overline A \cup \overline B AB=A∪B两个集合的并集的补集等于它们各自补集的交集 A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ \overline {A \cup B}=\overline A \cap \overline B A∪B=A∩B
概率的性质三：
$$PA-B)=PA)-PAB)$$若$B\subset A$，则:
$$PA-B)=PA)-PB)$$
概率的性质五：
对于任一事件$A$，有 P A ‾ ) = 1 − P A ) P\overline A) = 1-PA) PA)=1−PA)
概率加法公式概率的性质六)：
$$PA\cup B)=PA)+PB)-PAB)$$当$A$与$B$互斥，则：$$PA\cup B)=PA)+PB)$$
条件概率：
求事件$B$已发生的条件下事件$A$发生条件概率，即： P A ∣ B ) = P A B ) P B ) PA|B)=\frac{PAB)}{PB)} PA∣B)=PB)PAB)​
乘法公式：
求几个事件同时发生的概率，即： P A 1 A 2 . . . A n ) = P A 1 ) P A 2 ∣ A 1 ) P A 3 ∣ A 1 A 2 ) . . . P A n ∣ A 1 . . . A n − 1 ) PA_1A_2…A_n)=PA_1)PA_2|A_1)PA_3|A_1A_2)…PA_n|A_1…A_{n-1}) PA1​A2​...An​)=PA1​)PA2​∣A1​)PA3​∣A1​A2​)...PAn​∣A1​...An−1​)例如，若有$A$、$B$两随机事件，则$A$、$B$同时发生的概率为：$$PAB)=PA)PB|A)$$
全概率公式：
某一事件$B$发生是由各种原因 A i , i = 1 , 2 , . . . , n ) A_i,i=1,2,…,n) Ai​,i=1,2,...,n)引起的，则$B$发生的概率与 P B A i ) , i = 1 , 2 , . . . , n ) PBA_i),i=1,2,…,n) PBAi​),i=1,2,...,n)有关，且等于他们的总和，即 P B ) = ∑ i = 1 n P A i ) P B ∣ A i ) PB)=\sum_{i=1}^{n}PA_i)PB|A_i) PB)=i=1∑n​PAi​)PB∣Ai​)
贝叶斯公式逆全概率公式)：
当结果$B$发生时，它是由原因 A i A_i Ai​引起的可能性的大小，即要计算事件 A i A_i Ai​在事件$B$已发生的条件下的条件概率为： P A i ∣ B ) = P A i ) P B ∣ A i ) ∑ j = 1 n P A j ) P B ∣ A j ) PA_i|B)=\frac{PA_i)PB|A_i)}{\sum_{j=1}^{n}PA_j)PB|A_j)} PAi​∣B)=∑j=1n​PAj​)PB∣Aj​)PAi​)PB∣Ai​)​