树的重心及其性质

性质：

　　1.删除重心后所得的所有子树，节点数不超过原树的1/2，一棵树最多有两个重心；

　　2.树中所有节点到重心的距离之和最小，如果有两个重心，那么他们距离之和相等；

　　3.两个树通过一条边合并，新的重心在原树两个重心的路径上；

　　4.树删除或添加一个叶子节点，重心最多只移动一条边；

       5.一棵树最多有两个重心，且相邻。

证明：https://www.cnblogs.com/suxxsfe/p/13543253.htm  

附一个求树的重心的板子题：Codeforces Round #670 Div. 2)  C. Link Cut Centroids

#include<bits/stdc++.h>
#define repi, n) forint i=0;i!=n;++i)
#define peri, n) forint i=n-1;i>=0;--i)
#define Repi, sta, n) forint i=sta;i!=n;++i)
#define rep1i, n) forint i=1;i<=n;++i)
#define per1i, n) forint i=n;i>=1;--i)
#define Rep1i, sta, n) forint i=sta;i<=n;++i)
#define L rt<<1
#define R rt<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f)
#define llinf 1e18)
#define ALLA) A.begin),A.end)
#define SIZEA) int)A.size))
#define MOD 1e9 + 7)
#define PII pair<int,int>
typedef long long i64;
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 32;
vector<int> e[maxn];
int sz[maxn];
int rt,frt,n,x,p;//i节点连接的节点个数除选定的根节点外)
void dfsint cur,int fa)
{
    int mx = 0;//子节点最大的连接节点数
    sz[cur] = 1;//因为连接了父节点
    forauto node: e[cur])
        ifnode != fa){
            dfsnode,cur);
            sz[cur] += sz[node];
            mx = maxmx,sz[node]);
        }
    ifsz[cur]*2>=n && mx*2 < n) // sz[cur]*2<=n 则每一个子树必 <=n/2,可知为重心,mx*2 < n确保为最深层的重心
        rt = cur,frt = fa;       
}
void solve)
{
    int x,y;  cin >> n;
    forint i=1;i<=n;++i)
        e[i].resize0);
    repi, n-1){
        cin >> x >> y;
        e[x].push_backy);
        e[y].push_backx);
    }
    
    dfs1, 0);
    ifrt == 1){
        cout << "1 " << e[1][0] << endl;
        cout << "1 " << e[1][0] << endl;
    }else{
        ife[frt].size) == 1)
            p = rt,x = frt;
        else{
            forauto node: e[frt])
                ifnode != rt){
                    p = frt,x = node;
                    break;
                }
        }
        cout << p << " " << x << endl;;
        cout << rt << " " << x << endl;
    }
}
int main) {
    ios::sync_with_stdiofalse); cin.tie0); cout.tie0);
    int t;  cin >> t;
    whilet--)
        solve);
    return 0;
}