已知函数fx)=frac{x}{lnx}-ax)
1.)若函数fx))在1,+∞))上是减函数，求实数a)的最小值
2.)若存在x_1,x_2in [e,e^2])，使fx_1)le f^{‘}x_2)+aa>0))成立，求实数a)的取值范围
解答：
1.)
[f^{‘}x)=frac{lnx-1}{lnx)^2}-a
]
[=-frac{1}{lnx})^2+frac{1}{lnx}-a
]
[=-frac{1}{lnx}-frac{1}{2})^2+frac{1}{4}-a
]
最大值在x=e^2)取到，为frac{1}{4}-a)
因为在1,+∞))是减函数，所以frac{1}{4}-ale 0)
所以a=frac{1}{4})
2.)
只要让
[f_{min}x)le f^{‘}_{max}x)+a
]
由1.)得到，f^{‘}_{max}x)=f^{‘}e^2)=frac{1}{4}-a)
[f_{min}x)le frac{1}{4}
]
当函数在[e,e^2])不存在极值点，即age frac{1}{4})时
fx))在[e,e^2])单调减
[f_{min}x)=fe^2)=frac{e^2}{2}-ae^2le frac{1}{4}
]
[age frac{1}{2}-frac{1}{4e^2}
]
[frac{1}{2}-frac{1}{4e^2}>frac{1}{2}-frac{1}{4}=frac{1}{4}
]
所以得出
[age frac{1}{2}-frac{1}{4e^2}
]
当0<a<frac{1}{4})时
[f^{‘}e)=-a<0
]
[f^{‘}e)=frac{1}{4}-a>0
]
所以fx))在[e,e^2])有极小值点x_0)
[f_{min}x)=fx_0)=frac{x_0}{lnx_0}-ax_0le frac{1}{4}
]
[age frac{1}{lnx_0}-frac{1}{4x_0}>frac{1}{lne^2}-frac{1}{4e^2}>frac{1}{2}-frac{1}{4}=frac{1}{4}
]
与0<a<frac{1}{4})矛盾
所以age frac{1}{2}-frac{1}{4e^2})