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CORDIC算法详解（二）- CORDIC 算法之圆周系统之向量模式（Vectoring Mode）

文章目录 CORDIC算法详解（二）- CORDIC 算法之圆周系统之向量模式（Vectoring Mode）2 CORDIC 算法之圆周系统之向量模式（Vectoring Mode）2.1 向量模式（Vectoring Mode）2.2 思考2.3 CORDIC 算法之圆周系统之向量模式应用 3 CORDIC 算法之圆周系统之向量模式及圆周模式应用MATLAB代码3-3 function : cordic_crMATLAB代码3-4 function : cordic_cr_preMATLAB代码3-5 cordic_cr_post验证
  网上有很多类似的介绍，但是本文会结合实例进行介绍，尽量以最简单的语言进行解析。
  CORDIC Coordinate Rotation Digital Computer ) 是坐标旋转数字计算机算法的简称，
由 Vloder• 于 1959 年在设计美国航空导航控制系统的过程中首先提出[1], 主要用于解决导航系统中三角函数、 反三角函数和开方等运算的实时计算问题。 1971 年， Walther 将圆周系统、 线性系统和双曲系统统一到一个 CORDIC 迭代方程里 ， 从而提出了一种统一的CORDIC 算法形式[2]。
  CORDIC 算法应用广泛， 如离散傅里叶变换 、 离散余弦变换、 离散 Hartley 变换、Chirp-Z 变换、 各种滤波以及矩阵的奇异值分解中都可应用 CORDIC 算法。 从广义上讲，CORDIC 算法提供了一种数学计算的逼近方法。 由于它最终可分解为一系列的加减和移位操作， 故非常适合硬件实现。 例如， 在工程领域可采用 CORDIC 算法实现直接数字频率合成器。 本节在阐述 CORDIC 算法三种旋转模式的基础上， 介绍了利用 CORDIC 算法计算三角函数、 反三角函数和复数求模等相关理论。 以此为依据， 阐述了基于 FPGA 的 CORDIC 算法的设计与实现及其工程应用。

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整个系列分别从圆周系统、 线性系统和双曲系统及硬件实现进行分析，如下：

CORDIC算法详解（一）- CORDIC 算法之圆周系统之旋转模式（ Rotation Mode )
CORDIC算法详解（二）- CORDIC 算法之圆周系统之向量模式（Vectoring Mode）
CORDIC算法详解（三）- CORDIC 算法之线性系统及其数学应用
CORDIC算法详解（四）- CORDIC 算法之双曲系统及其数学应用
CORDIC算法详解（五）- 统一的 CORDIC 算法形式
CORDIC算法详解（六）- CORDIC 算法的硬件实现
其中第五篇及第六篇后会放出相关参考资料及源码。

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2 CORDIC 算法之圆周系统之向量模式（Vectoring Mode） 2.1 向量模式（Vectoring Mode）

  在向量模式下， CORDIC 算法主要用于实现直角坐标系到极坐标系的转换 旋转模式下， 每次迭代使 z 趋向于 0。与之相比， 向量模式下， 则是使y趋向于 0。 为了达到这一目标， 每次迭代通过判断 yi 的符号确定旋转方向， 最终使初始向量旋转至 X 轴的正半轴， 这一过程也使得每次微旋转的旋转角度累加和存储在变量 z 中。 矢量旋转图如图 3.76 所示， 相应的迭代过程如式（3.110) 所示：

  经过nn–>∞)次旋转，使图3.76中的P靠近x轴。因此，当迭代结束之后，P将近似接近x轴，此时P点纵坐标yn = 0，在这个过程中可知旋转了θ，即zn = z0 +θ = z0+arctany0/x0)z0为初始化角度)。
  由上一篇文章可知，每次微旋转都导致向量模长发生了变化。以Ki表示第 i次微旋转模长补偿因子， 故第 i次微旋转真实旋转的结果应为:

  其中，由于在伪旋转中，去掉了cosθi，所以Ki=cosθi 由式 3.99) 可知:

  当n趋于无穷大时，K 逼近 0.607252935。
  经过nn–>∞)次旋转，可得：

xn = 1/∏cosθix0cosθ – y0sinθ)（其中i从0至n-1）yn = 1/∏cosθiy0cosθ + x0sinθ)（其中i从0至n-1）

  因此，可得y0cosθ + x0sinθ = 0，

xn = 1/∏cosθix0cosθ – y0sinθ) = 1/∏cosθi{ [ x0cosθ – y0sinθ)2]1/2)}平方再开方)
= 1/∏cosθi{ [ x02cos2θ + y02sin2θ – 2x0y0sinθcosθ]1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x02cos2θ + y02sin2θ + y02cos2θ + x02sin2θ ]1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x02 + y02]1/2)}

   得到的最终结果为

  式 3.111 ) 中， 要求初始化角度 z0 = 0 , 从而可获得向量的模长和相角。 以向量1，2)为例，其旋转过程如表 3.20 所示， 前 3 次微旋转矢量图如图 3.77 所示。

  旋转模式和向量模式的相同之处在于： 两者都是微旋转， 也都是伪旋转。 前者使得向量模式下的初始向量必须落入第一或第四象限； 后者使得向量模长发生变化需要补偿。

2.2 思考

  若初始向量落入第二或第三象限该如何处理？
  由于微旋转限定了初始向量必须在第一或第四象限 ，这就要求 x0 > 0 ，而对 y0没有要求。根据对称性，当初始向量位于第二象限时，将其搬移至第一象限；当初始向量位于第三象限时，将其搬移至第四象限，如图3.78所示，然后在对搬移后的向量利用CORDIC算法进行处理。对CORDIC处理的结果，根据 x0 和 y0的符号（判断初始向量所在的象限）做对应的处理，从而获得初始向量的相角，处理流程如图如图 3.79 所示。

2.3 CORDIC 算法之圆周系统之向量模式应用

  根据式 （3.111 ), 取x0 为复数的实部， y0为复数的虚部， 利用 CORDIC 算法可以进行复数求模运算， 显然， 也可求出该复数的相位， 如图 3.80 所示。 这里并不要求x0 ， y0 )在单位圆上。

  同样地， 根据式（ 3.111 ), 令x0 = 1 , 可获取反正切函数值， 如图 3.81 所示。 据此， 在   MATLAB 下求解反正切函数值如图 3.82 所示。   关于CORDIC算法计算反三角函数arctanθ的MATLAB代码如下所示： close all;clear;clc;% 初始化die = 16;%迭代次数x = zerosdie+1,1);y = zerosdie+1,1);z = zerosdie+1,1);x1) = 100;%初始设置y1) = 200;%初始设置k = 0.607253;%初始设置%迭代操作for i = 1:die if yi) >= 0 d = -1; else d = 1; end xi+1) = xi) – d*yi)*2^-i-1))); yi+1) = yi) + d*xi)*2^-i-1))); zi+1) = zi) – d*atan2^-i-1)));endd = vpax17)*k,10)a = vpay17),10)c = vparad2degz17)),10)   此外，根据式（3.111），还可以实现直角坐标系到极坐标的转换。最终xn输出为极径，但扩大为初始向量模长的An，对zn进行一定的处理后即为极角。 3 CORDIC 算法之圆周系统之向量模式及圆周模式应用

  CORDIC圆角系统算法模型如MATLAB代码如下。其中，cordic_cr调用了两个函数cordic_cr_pre和cordic_cr_post，分别如MATLAB代码3-4和MATLAB代码3-5所示。

MATLAB代码3-3 function : cordic_cr % /*% * @Author: ZLK% * @Date: 2018-10-30 16:30:29% * @Last Modified by: ZLK% * @Last Modified time: 2018-10-30 17:13:55% */function a = cordic_crx0,y0,z0,mode,it)% Circular Rotation.% mode 0: roatation mode; 1: vectoring mode.% vectoring mode: z0=0.% z0: expected rotation angle with rad instead of degree.% In rotation mode z0 ranges from -pi to pi.% it: iteration count%% cordic_cr_pre[x0_p,y0_p,z0_p]=cordic_cr_prex0,y0,z0,mode);x = zerosit+1,1);y = zerosit+1,1);z = zerosit+1,1);x1)= x0_p;y1)= y0_p;z1)= z0_p;di = 0;%% iterationfor k=1:itif mode==0di = signzk)); % rotation modeelsedi = sign-yk));% vectoring modeendxk+1) = xk)-yk)*di*2^-k-1));yk+1) = yk)+xk)*di*2^-k-1));zk+1) = zk)-di*atan2^-k-1)));endkn = 1/prodsqrt1+2.^-2*0:it-1)))); % scale factorxn_p = kn*xit+1);yn_p = kn*yit+1);zn_p = zit+1);%% cordic_cr_ post[xn,yn,zn]=cordic_cr_postx0,y0,z0,xn_p,yn_p,zn_p,mode);%% true resultif mode==0xt = x0*cosz0)-y0*sinz0);yt = y0*cosz0)+x0*sinz0);zt = 0;elsext = sqrtx0^2+y0^2);yt = 0;zt = z0+atan2y0,x0); % atan2 rang from -pi to pienda = [xn,xt,yn,yt,zn,zt]; MATLAB代码3-4 function : cordic_cr_pre % /*% * @Author: ZLK% * @Date: 2018-10-30 16:30:29% * @Last Modified by: ZLK% * @Last Modified time: 2018-10-30 16:44:24% */function [x0_p,y0_p,z0_p]=cordic_cr_prex0,y0,z0,mode)% vector x0,y0)% mode : 0 : rotation; else vectoringif z0<-pi||z0>pierror’Rotation angle must range from -pi to pi.’);endif x0==0 && y0==0error’Both x0 and y0 can not be zeros at the same time.’);endif mode==0s = signz0);if z0>pi/2||z0<-pi/2x0_p= -s*y0;y0_p = s*x0;z0_p = z0 – s*pi/2;elsex0_p = x0;y0_p = y0;z0_p = z0;endelsex0_p = absx0);y0_p = absy0);z0_p = 0;end MATLAB代码3-5 cordic_cr_post % /*% * @Author: ZLK% * @Date: 2018-10-30 16:30:42% * @Last Modified by: ZLK% * @Last Modified time: 2018-10-30 16:55:58% */function [xn,yn,zn]=cordic_cp_postx0,y0,z0,xnp,ynp,znp,mode)% mode : 0 : rotation; else vectoringtheta = 0;if mode==1if x0>=0 && y0>=0theta = znp;elseif x0<0 && y0>=0theta = pi – znp;elseif x0<0 && y0<=0theta = znp – pi;elseif x0>0 && y0<0theta = -znp;endxn = xnp;yn = ynp;zn = z0 + theta;elsexn=xnp;yn = ynp;zn = znp;end 验证

  在命令行输入：cordic_cr0.607253,0,pi/4,0,16)
  上诉命令为计算cosθ和sinθ，其中θ=π/4（迭代次数16）
  结果：

x17=0.707095876358217y17=0.707117836980767