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定义

泊松分布的期望和方差

期望

[EX = lambda
]

证明 –> 课本 P52 例题

例 4.2   设随机变量 X sim Plambda)), 求 EX).

解

[EX = sum_{k = 0}^{infty}x_kp_k = sum_{k = 0}^{infty} k frac{lambda ^ k}{k!}e^{-lambda} = e^{-lambda}lambda sum_{k = 1}^{infty}frac{lambda ^ {k – 1}}{k – 1)!} = lambda e^{-lambda}e^{lambda } = lambda
]

即 EX = lambda).

模糊计算士按: 上面的计算用到了一个幂级数展开式 –>

[fx) = e^x = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + …… frac{x^n}{n!} + …, quad x in -infty, +infty)
]

即 –>

[sum_{k = 1}^{infty}frac{lambda ^ {k – 1}}{k – 1)!} = e^lambda
]

方差

[DX = lambda
]

证明 –> 课本 P57 例题

例 4.18  设随机变量 X sim Plambda)), 求 DX).

解

[EX^2 = sum_{k = 0}^{infty} k^2 frac{lambda ^ k}{k!}e^{-lambda} = lambda sum_{k = 1}^{infty}ke^{-lambda}frac{lambda ^ {k – 1}}{k – 1)!} = lambdasum_{k = 0}^{infty} k + 1) e^{-lambda}frac{lambda ^ k}{k!} = lambda lambda + 1)
]

则:

[DX = EX^2 – EX)^2 = lambda lambda + 1) – lambda^2 = lambda.
]

模糊计算士按: 上面的计算用到了一个幂级数展开式 –>

[fx) = e^x = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + …… frac{x^n}{n!} + …, quad x in -infty, +infty)
]

将

[sum_{k = 0}^{infty} k + 1) e^{-lambda}frac{lambda ^ k}{k!}
]

拆成

[sum_{k = 0}^{infty} ke^{-lambda}frac{lambda ^ k}{k!} + sum_{k = 0}^{infty}e^{-lambda}frac{lambda ^ k}{k!}
]

然后左式可以利用上面的求期望的结果, 右式直接用 e^x) 的幂级数展开就完成了.

泊松分布的重要性质