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一、梯度下降法简介

梯度下降法是一种常用的优化算法，可以用于求解函数的最小值，尤其适用于机器学习中的参数优化问题。其基本思想是通过迭代地调整参数值，使得目标函数的值逐渐变小，直到满足一定的收敛条件。

二、梯度下降法原理

梯度下降法的核心在于求解函数的梯度向量，该向量指示了函数在某一点上升最快的方向，即梯度的反方向是函数下降最快的方向。因此，通过迭代地更新参数值，可以沿着梯度的反方向逐渐接近函数的最小值。

设$f(x)$是一个实数值函数，$x$是一个$n$维向量，则该函数在$x$点的梯度向量为：

$$nabla f(x) = begin{pmatrix} frac{partial f(x)}{partial x_1}\  frac{partial f(x)}{partial x_2}\ ...\  frac{partial f(x)}{partial x_n}end{pmatrix}$$

其中，$frac{partial f(x)}{partial x_i}$表示函数$f(x)$对第$i$个变量的偏导数。

梯度下降的更新公式为：

$$x_{t+1} = x_t - alpha nabla f(x_t)$$

其中，$x_t$表示第$t$次迭代的参数值，$alpha$表示步长，即每次迭代调整参数值的幅度。

三、梯度下降法步骤

1. 数据准备

在使用梯度下降法求解函数最小值之前，需要先准备好用于计算函数值和梯度的数据。具体来说，需要确定函数的形式以及函数参数的维度，以及使用哪些数据进行参数学习。

例如，假设我们要求解函数$f(x) = x_1^2 + x_2^2$的最小值，其中$x=(x_1,x_2)$，则可以定义如下的数据结构：

import numpy as np
from typing import Dict, Tuple

def prepare_data() -> Tuple[Dict[str, np.ndarray], np.ndarray]:
    x = np.random.randn(100, 2)
    y = np.square(x[:, 0]) + np.square(x[:, 1])
    data = {"X": x, "y": y}
    return data, y

2. 定义目标函数

在准备好数据后，需要定义目标函数，即需要优化的函数。在上述例子中，目标函数为$f(x) = x_1^2 + x_2^2$。需要注意的是，目标函数必须是可微的，才能使用梯度下降法进行优化。

def target_function(theta: np.ndarray, X: np.ndarray, y: np.ndarray) -> float:
    diff = np.matmul(X, theta) - y
    mse = np.sum(diff ** 2) / len(y)
    return mse

3. 计算梯度

在定义好目标函数后，就可以计算函数的梯度向量了。对于一维函数，梯度向量即为函数的导数；对于多维函数，梯度向量为各个偏导数组成的向量。

def gradient(theta: np.ndarray, X: np.ndarray, y: np.ndarray) -> np.ndarray:
    diff = np.matmul(X, theta) - y
    grad = np.matmul(diff, X) / len(y)
    return grad

4. 迭代优化

在完成数据准备、目标函数定义和梯度计算后，就可以开始利用梯度下降法进行迭代优化。具体地，需要设定初始参数值和迭代次数，然后不断计算梯度并更新参数值，直到满足一定的停止条件。

def gradient_descent(X: np.ndarray,
                      y: np.ndarray,
                      theta: np.ndarray,
                      alpha: float = 0.1,
                      max_iters: int = 1000,
                      eps: float = 1e-6) -> Tuple[np.ndarray, float, np.ndarray]:
    loss_history = []
    for i in range(max_iters):
        grad = gradient(theta, X, y)
        loss = target_function(theta, X, y)
        loss_history.append(loss)
        if np.linalg.norm(grad) < eps:
            break
        theta = theta - alpha * grad
    return theta, loss_history[-1], np.array(loss_history)

5. 执行优化

最后，调用gradient_descent函数进行优化，得到最优的参数值。

data, y = prepare_data()
X = np.hstack((data["X"], np.ones((data["X"].shape[0], 1))))
theta = np.zeros(X.shape[1])
theta, loss, loss_history = gradient_descent(X, y, theta, alpha=0.1)