伪逆矩阵用法介绍(矩阵原理伪逆矩阵)

一、定义与基本概念

伪逆矩阵是指在矩阵不可逆的情况下，仍能找到一种解决方案，使得矩阵乘以其伪逆得到的结果最接近原矩阵乘以其逆矩阵得到的结果。

具体地，对于m x n矩阵A，如果它满足以下条件，则其伪逆矩阵存在：

1、m >= n，即行数大于等于列数；

2、矩阵A的列满秩。

在这种情况下，矩阵A的伪逆矩阵记作A⁺。

伪逆矩阵的求法分为两种：左伪逆矩阵和右伪逆矩阵。

#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
MatrixXd A = ...;//m x n矩阵
MatrixXd A_plus = A.transpose() * (A * A.transpose()).inverse();

其中，A.tanspose()是A的转置矩阵，(A * A.transpose()).inverse()是(A * A.transpose())的逆矩阵。

#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
MatrixXd A = ...;//m x n矩阵
MatrixXd A_plus = (A.transpose() * A).inverse() * A.transpose();

其中，(A.transpose() * A).inverse()是(A.transpose() * A)的逆矩阵。

伪逆矩阵在机器学习、计算机视觉、控制系统等领域中有着广泛的应用。

在线性回归中，伪逆矩阵被用来对给定的数据进行拟合。具体地，对于以下的线性回归问题：

y = Xw

其中，y是n维向量，X是n x m维矩阵，w是m维向量。

当n > m时，X不是方阵，无法求逆矩阵。此时，可以使用伪逆矩阵：

w = (X⁺y

其中，X⁺是X的伪逆矩阵。

在机器人控制系统中，伪逆矩阵被用来计算机器人末端效应器的速度。具体地，用J表示机器人关节位移与末端效应器速度之间的雅可比矩阵，则可以使用伪逆矩阵计算速度：

v = J⁺e

其中，v是末端效应器的速度，e是期望位移，J⁺是雅可比矩阵的伪逆矩阵。

在图像处理中，伪逆矩阵被用来进行图像的去噪处理。具体地，对于以下的去噪问题：

y = Xw + n

其中，y是n维向量，X是n x m维矩阵，w是m维向量，n是噪声向量。

当n的平均值为0时，可以使用伪逆矩阵对图像进行去噪：

w = X⁺ (y – n)

其中，X⁺是X的伪逆矩阵。

伪逆矩阵是矩阵不可逆时的解决方案，在线性回归、机器人控制、图像处理等领域中有着广泛的应用。通过左伪逆矩阵和右伪逆矩阵的求法，可以找到一个最优解。对于机器学习等需要进行大量矩阵计算的领域，伪逆矩阵无疑是一个极其重要的工具。