一、简介
点乘，也称为数量积或内积，是向量运算中的一种。它将两个向量的长度相乘再乘以它们夹角的余弦值。简单来说，点乘可以得出两个向量之间的夹角余弦值以及一个标量的积。
二、点乘公式
点乘公式如下：
a · b = |a| × |b| × cosθ
其中，a、b均为向量，|a|、|b|分别为向量a、b的模，θ为向量a、b的夹角。
三、点乘的应用
1. 向量投影
向量投影是点乘的一种常见应用。如果我们想要知道一个向量a在另一个向量b上的投影长度，可以通过点乘公式求解。
假设向量a的长度为|a|，夹角为θ，则𝕒b的投影长度为：
|a|cosθ
即a在𝕓b方向上的长度。
2. 向量夹角
当我们需要计算两个向量之间的夹角时，点乘同样是一个非常有用的工具。夹角θ的计算公式如下：
cosθ = (a · b) / (|a| × |b|)
通过点乘公式，可以得出a、b两个向量的点积，而|a|、|b|则表示向量的模长。这样就可以求解出两个向量之间的夹角。
3. 计算平行四边形面积
通过点乘还可以计算平行四边形的面积。假设a、b为平行四边形的两条边，则它们的点积的绝对值就是平行四边形的面积：
S = |a · b|
当然，需要注意的是，这种方法只适用于平行四边形。
四、代码示例
1. 向量投影的代码实现
vector proj(vector a, vector b) {
float dot = a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];
float len = sqrt(b[0] * b[0] + b[1] * b[1] + b[2] * b[2]);
vector res = { dot * b[0] / len, dot * b[1] / len, dot * b[2] / len };
return res;
}
上述函数中，a、b分别表示两个向量，其中a[0]、a[1]、a[2]表示a向量的x、y、z分量，b[0]、b[1]、b[2]分别表示b向量的x、y、z分量，dot表示它们的点积，len表示向量b的模长。通过点乘公式，我们可以得出a向量在b向量上的投影向量res。
2. 向量夹角的代码实现
float angle(vector a, vector b) {
float dot = a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];
float len_a = sqrt(a[0] * a[0] + a[1] * a[1] + a[2] * a[2]);
float len_b = sqrt(b[0] * b[0] + b[1] * b[1] + b[2] * b[2]);
return acos(dot / (len_a * len_b));
}
上述代码中，a、b分别代表两个向量，dot表示它们的点积，len_a和len_b分别表示向量a、b的模长，acos函数可以求出它们之间的夹角角度。
3. 计算平行四边形面积的代码实现
float area(vector a, vector b) {
return sqrt(pow(a[1] * b[2] - a[2] * b[1], 2) + pow(a[2] * b[0] - a[0] * b[2], 2) + pow(a[0] * b[1] - a[1] * b[0], 2));
}
上述代码中，a、b分别表示平行四边形的两条边，求解公式为|a · b|。可以通过向量叉积的方式计算得出平行四边形的面积。