点到面的距离(点到线或面的距离公式)

点到面的距离是指在三维坐标系中，由一个点到一个平面所涉及的距离。这个距离在很多计算机图形学应用中都很常见，比如在三维渲染、碰撞检测、物理模拟等方面。

一、点到平面的基本概念

点到面的距离，可以简单理解为一个垂线段的长度，该垂线段的一个端点在平面上，一个端点在点上。

设点为P(x_p, y_p, z_p)，平面为ax+by+cz+d=0。其中，（a, b, c）为平面的法向量，P₀(x₀, y₀, z₀)为平面上的一点。

由向量的点乘公式得到，点P到平面的垂线向量为：n = (ax_p+by_p+cz_p+d)(a, b, c)。

则点P到平面的距离可以表示为其垂线段的长度模长：d = |n|/sqrt(a^2+b^2+c^2)。

二、点到平面距离的算法实现

第一种方法：向量法

算法流程：首先，求出平面的法向量(x₁, y₁, z₁)；然后，建立垂线段的向量(x₂, y₂, z₂)；最后求两个向量的点积，再除以(x₁, y₁, z₁)的模长即可得到点到面的距离。

double PointToPlaneDistance(Vector3d p, Vector3d n, Vector3d p0)
{
    Vector3d v = p - p0;
    double d = fabs(v.Dot(n)) / n.GetLength();
    return d;
}

第二种方法：投影法

算法流程：首先，求出点P到平面所在直线的垂足M；然后，建立垂线段PM；最后求垂线段PM的长度即可得到点到面的距离。

double PointToPlaneDistance(Vector3d p, Vector3d n, Vector3d p0)
{
    Vector3d v = p - p0;
    double t = -v.Dot(n) / n.Dot(n);
    Vector3d m = p + n * t;
    double d = (m - p).GetLength();
    return d;
}

三、点到平面距离的应用举例

点到平面距离在3D建模工具、游戏引擎等领域有着广泛的应用。

1、3D建模

在3D建模中，经常需要计算物体上某个点到平面的距离，以便更好的控制物体的位置、旋转、缩放等属性。

2、游戏引擎

在游戏引擎中，点到平面的距离可以用于碰撞检测，判断某个物体是否与另一个物体相撞。同时，点到平面的距离也可以用于实现粒子效果、烟雾效果等。

四、总结

点到平面的距离是计算机图形学中的基础知识，掌握了这个概念和相关算法，可以帮助我们更好的理解3D建模和游戏引擎等应用，同时，在实际开发中也可以遇到更多的问题，结合具体问题应用算法，从而更好的解决问题。