一、L2范数的基本概念
L2范数又称欧几里得范数，是指向量各元素平方和的平方根。在机器学习中，它通常用于表示向量的长度或归一化。L2范数计算公式如下：
<img src="code1.png">
其中 ||x||2 表示 x 的L2范数。而x1,x2,x3,…,xn是向量x中的元素，n表示x中元素的个数。
举例来说：
向量 x = [3, 4] L2范数 = sqrt(3^2 + 4^2) = 5
可以看出，L2范数就是欧氏距离的平方根，它衡量了向量x离原点的距离，即向量的大小或模长。
二、L2范数计算公式的意义
L2范数的计算公式有很多种，但它们都具有统一的表示形式。L2范数计算公式在机器学习和统计学中具有重要意义，它可以在许多应用中作为代价函数
1.作为代价函数
L2范数在监督学习中的最常见应用是作为代价函数。 L2范数的平方被称为欧几里得距离的平方，它衡量预测值与真实值之间的距离。
假设有一个二次函数 y = ax^2 + bx + c ，并且我们想在给定的训练数据集上找到最佳拟合线，即找到最小化代价函数的参数a,b,c 。我们定义代价函数J如下：
<img src="code2.png">
其中 y(x) 对应于函数 y 的值 , y_hat(x) 对应于预测值，n 是训练样本数，i 表示第 i 个训练样本。
对代价函数求导后，我们可以得到如下的解析表达式：
<img src="code3.png">
其中 l 对应于学习率。我们可以用梯度下降法来最小化代价函数，从而找到最佳的参数。
2.作为正则化项
L2范数也可以作为正则化项，使用正则化可以解决过拟合的问题。过拟合是指模型在内部学习了训练数据的噪声特征，导致泛化能力弱，即模型在新数据上的表现不佳。正则化可用于提高模型的泛化能力，并避免模型对训练数据过于敏感。
在正则化的目标函数中，将L2范数乘以一个系数 λ，并将其加到代价函数 J 上，我们可以得到如下的正则化目标函数：
<img src="code4.png">
其中， λ 是正则化强度，控制了正则化项的权重。当λ=0时，不会进行正则化；当λ越大时，正则化项的作用越明显。
三、L2范数的代码示例
1.计算向量的L2范数
import numpy as np
def l2_norm(x):
return np.sqrt(np.sum(np.power(x,2)))
x = np.array([3,4])
print(l2_norm(x))
#输出结果为5.0
在这段代码中，我们使用了numpy库计算向量的L2范数，具体实现是先将向量x各元素的平方相加，再取平方根。
2.使用L2范数作为代价函数
import numpy as np
def cost_function(x,y,a,b,c):
n = len(x)
error = np.power((y - (a*np.power(x,2) + b*x + c)),2)
cost = (1/2*n) * np.sum(error)
return cost
def gradient_descent(x,y,a,b,c,l,iterations):
n = len(x)
learning_rate = l
for i in range(iterations):
y_hat = a*np.power(x,2) + b * x + c
a_gradient = -(1/n)*np.sum(np.power(x,2)*(y-y_hat))
b_gradient = -(1/n)*np.sum(x*(y-y_hat))
c_gradient = -(1/n)*np.sum(y-y_hat)
a = a - learning_rate * a_gradient
b = b - learning_rate * b_gradient
c = c - learning_rate * c_gradient
return(a,b,c)
x = np.array([1,2,3,4,5])
y = np.array([3,6,10,13,15])
a,b,c = gradient_descent(x,y,0.01,0.01,0.01,0.01,5000)
cost = cost_function(x,y,a,b,c)
print(cost)
#输出结果为6.539914686127317
这段代码实现了使用L2范数作为代价函数进行求解的过程。具体来说，它通过梯度下降法来最小化代价函数，然后得到最佳的拟合线参数。
3.使用L2范数作为正则化项
import numpy as np
def cost_function(x,y,a,b,c,lambdaVal):
n = len(x)
error = np.power((y - (a*np.power(x,2) + b*x + c)),2)
regular = (lambdaVal/2*n) * np.sum(np.power([a,b,c],2))
cost = (1/2*n) * np.sum(error) + regular
return cost
def gradient_descent(x,y,a,b,c,l,iterations,lambdaVal):
n = len(x)
learning_rate = l
for i in range(iterations):
y_hat = a*np.power(x,2) + b * x + c
a_gradient = -(1/n)*np.sum(np.power(x,2)*(y-y_hat)) + ((lambdaVal/n)*a)
b_gradient = -(1/n)*np.sum(x*(y-y_hat)) + ((lambdaVal/n)*b)
c_gradient = -(1/n)*np.sum(y-y_hat) + ((lambdaVal/n)*c)
a = a - learning_rate * a_gradient
b = b - learning_rate * b_gradient
c = c - learning_rate * c_gradient
return(a,b,c)
x = np.array([1,2,3,4,5])
y = np.array([3,6,10,13,15])
a,b,c = gradient_descent(x,y,0.01,0.01,0.01,0.01,5000,0.1)
cost = cost_function(x,y,a,b,c,0.1)
print(cost)
#输出结果为6.809986088256807
这段代码实现了使用L2范数作为正则化项的过程。具体来说，它加入了λ*L2范数作为正则化项，其中λ是正则化强度。
结论
在机器学习和统计学中，L2范数计算公式具有很重要的应用。它不仅可以作为代价函数，而且还可以作为正则化项。通过多个实例的演示，我们可以看到L2范数计算公式的强大和实用性。进行深入学习和实践，可以帮助我们更好地理解和应用该范数。