一、什么是二范数
在线性代数中，向量的二范数也叫欧几里得范数（Euclidean norm），是指在 n 维向量空间内，某个向量的各个元素平方和的算术平方根。其公式为：
||x||2 = sqrt(sum(x(i)^2)) i = 1,2,...,n
其中，x(i)表示向量x在第i个维度上的值。
二范数实际上就是我们熟知的勾股定理，它可以衡量一个向量的大小以及向量所在空间的距离，是矩阵论和向量分析中非常重要的概念。
二、二范数的应用
1. 梯度下降算法
在机器学习和深度学习中，梯度下降算法是一种常用的优化方法。在这个过程中，需要计算损失函数的梯度，然后沿着梯度的反方向更新模型参数。而二范数正是用来惩罚模型复杂度的，使用二范数可以限制模型参数的大小，实现模型的正则化。
def L2_regularization(parameters, lambd, m):
'''
实现L2正则化
参数：
parameters - 包含所有W和b的字典
lambd - L2正则化超参数
m - 样本数量
返回：
cost - L2正则化成本
'''
L = len(parameters) // 2
L2_cost = 0
for l in range(L):
W = parameters['W' + str(l+1)]
L2_cost += lambd * np.sum(np.square(W))
L2_cost = L2_cost / (2 * m)
return L2_cost
2. 特征选择
特征选择是指从原始特征中选择一些有意义的特征，以减少样本的维度和降低冗余度。二范数正则化可以通过缩小特征权重来进行特征选择，降低某些特征的重要性。被二范数正则化缩小的参数，就可以认为是无关特征，可以被剔除或简化。
def Lasso_regression(X, y, alpha):
'''
实现Lasso回归算法
参数：
X - 特征矩阵
y - 标签矩阵
alpha - Lasso回归超参数
返回：
w - 计算出的Lasso系数向量
'''
# 初始化系数向量
w = np.zeros((X.shape[1], 1))
# 设置算法超参数
max_iter = 10000
tol = 1e-4
# 实现坐标下降算法
for iter in range(max_iter):
for j in range(X.shape[1]):
X_j = X[:,j].reshape(-1,1)
r_j = y - X.dot(w) + X_j * w[j]
arg1 = X_j.T.dot(r_j)
arg2 = alpha / 2.0 * np.sign(w[j])
w_j_new = soft_threshold(arg1, arg2)
if w_j_new != w[j]:
w[j] = w_j_new
else:
break
if check_stop_criterion(w, w_old, tol):
break
w_old = w.copy()
return w
三、总结
综上所述，二范数公式在机器学习和深度学习中起着重要的作用，可以通过正则化控制模型的大小和特征的重要性，从而达到优化模型的目的。