一、什么是极限存在和连续
在微积分学中，极限是一个很重要的概念，它可以帮助我们理解一些诸如函数的性质，以及一些物理和几何问题。极限存在意味着当自变量越来越接近某个特定值时，函数的输出将会越来越接近于某一个确定的数值。如果函数在某个特定点上无法定义，那么我们也无法谈论它在该点的极限。因此，我们使用极限存在的概念来描述函数在某个特定点的行为。
在数学中，连续是一个比较简单的概念。当一条曲线在没有任何突变或者断点的情况下可以描绘出来时，这条曲线就是连续的。也就是说，当自变量在某个范围内发生微小的变化时，函数的值也会相应地变化。因此，我们使用连续的概念来描述函数的平滑程度。
二、极限与连续之间的关系
极限与连续之间存在着非常密切的关系。如果一个函数在某个特定点存在极限，那么这个函数在该点就是连续的。这是因为如果函数极限存在，那么当自变量越来越接近某个特定值时，函数的值也会越来越接近于一个确定的数值。因此，如果函数在此处存在极限，我们可以用这个确定的数值替代该点的函数值，甚至在没有明确定义函数在该点的值的情况下仍然能够进行计算。
同样地，如果一个函数在某个特定点连续，那么它在该点也必须存在极限。这是因为如果函数在该点不存在极限，那么当自变量趋近于该点时，函数的值会出现极大或极小的波动，而这种波动又会导致函数的不连续性。
三、极限存在的定义
在最常用的极限存在定义中，对任意正数 $varepsilon$，我们可以找到一个正数 $delta$，当 $x$ 与 $a$ 的距离 $|x-a|<delta$ 时，函数值 $f(x)$ 与极限值 $L$ 的距离 $|f(x)-L|$ 小于 $varepsilon$。这个定义可以很好地描述函数在某一点的极限存在。也就是说，无论我们要求函数的极限有多接近于某一值，我们总能够找到一些足够小的邻域，使得其中所有的函数值都足够接近于该极限。
double limit(double x, double a, double (*f)(double), double delta)
{
double fx, fa, error;
fa = f(a);
while (delta > 0.000001)
{
fx = f(x);
error = fabs(fx-fa);
if (error fa)
{
x -= delta;
}
else
{
x += delta;
}
}
}
return fx;
}
四、连续的定义
在微积分中，连续并不仅仅是一条曲线没有突变或者断点这么简单。如果一个函数在某个区间内的任意一点都连续，那么该函数就是在该区间内连续的。也就是说，如果函数在某区间内的任意一点上微小的变动都不会产生巨大的函数值变化，那么该函数就是在该区间内连续的。
bool is_continuous(double a, double b, double (*f)(double))
{
double delta = 0.001;
for (double x = a; x delta || fabs(f(x)-f(b)) > delta)
{
return false;
}
}
return true;
}
五、结论
极限和连续是微积分中的重要概念。它们是解决一些物理和几何问题的关键。它们之间存在着密切的关系，通常认为，如果一个函数在某点存在极限，那么该函数也是在该点连续的。同样地，如果一个函数在某点连续，那么该函数在该点也必须存在极限。