行列式的迹(迹与行列式的联系)

一、定义

行列式是一个运算，将一个$n×n$的矩阵$A$映射为一个实数，记为$det(A)$，也可以写成$|A|$。行列式可以看作一个$n$阶方阵中每个元素的代数余子式的和。

行列式的迹（trace）是指一个$n×n$的方阵$A$的主对角线元素之和，即：

二、迹的性质

以下是迹的一些常见性质：

1. 迹与矩阵相似性

如果有一个可逆矩阵$P$，使得$A=P^{-1}BP$，则有：

证明如下：

tr(A) = tr(P-1BP)
      = tr((P-1B)P)
      = tr(PP-1B)
      = tr(B)

2. 迹与转置

有两个$n×n$的矩阵$A$和$B$，则有：

证明如下：

tr(AB) = sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}
tr(BA) = sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}b_{ij}a_{ji}

将两式交换$i$和$j$的位置可得到相同结果。

3. 迹与逆矩阵

如果有一个可逆矩阵$A$，则有：

证明如下：

tr(AA-1) = tr(I) = n
tr(A-1A) = tr(I) = n

两式相减得到结论。

4. 迹与对角矩阵

对角矩阵是所有主对角线元素都为非零数，其余全为零的矩阵。设$D$是一个对角矩阵，则有：

证明显而易见。

三、应用

1. 计算特征值

设$A$是一个$n×n$的矩阵，$lambda_1,lambda_2,…,lambda_n$是它的特征值，$v_1,v_2,…,v_n$是它的特征向量。则有：

证明如下：

Avi = lambdaivi
Avi·vi = lambdaivi·vi
lambdai = frac{Avi·vi}{vi·vi}

sum_{i=1}^{n}lambda_i = sum_{i=1}^{n}frac{Avi·vi}{vi·vi}
                        = tr(A)

2. 计算气体状态方程

根据理想气体状态方程，有：

其中$p$为气压，$V$为体积，$n$为物质的摩尔数，$R$为气体常数，$T$为绝对温度。将$p$和$V$看作矩阵的元素，$n$和$R$看作常数，则可以将式子写成：

两边取迹则有：

因此，根据迹可以计算出气体状态方程。

附：Python代码示例（numpy库）

import numpy as np

# 定义一个3x3的矩阵
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 计算行列式的迹
trace_A = np.trace(A)

print(trace_A)