一、Einsum函数是什么
Einsum是”Ein”stein summation的缩写，也称作Einstein notation，是一个用于指定张量乘法的快捷方式。Einsum是numpy中的一个通用函数，支持高维张量的乘法、转置、矩阵乘法、批量乘法和求和等操作。它的使用非常灵活，可以完成很多复杂的计算任务，尤其是在神经网络、图像处理等领域。
二、Einsum函数的语法
Einsum函数的语法形式如下：
numpy.einsum(subscripts, *operands, out=None, dtype=None, order='K', casting='unsafe', optimize=True) 其中，subscripts是Einstein求和符号指定的字符串；operands是需要相乘的张量，可以是任意形状和维度的张量；out是指定输出结果的张量；dtype是输出结果的数据类型；order是数组的存储顺序；casting是类型转换的策略；optimize是指定优化求和的方式。
三、Einsum函数的使用方法
1、点积运算
点积操作是Einsum最基本的运算之一，用dot方式和Einsum方式都可以实现。在这里我们使用Einsum方式来实现点积：
#使用numpy.dot()实现点积
import numpy as np
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([4,5,6])
c = np.dot(a, b) # dot
print(c)
#输出结果：32
#使用numpy.einsum()实现点积
c = np.einsum('i,i->', a, b)
print(c)
#输出结果：32在上面的例子中，我们通过subscripts的i,i->来定义点积的形式。最后的符号->表示有一个输出，可以省略。Einsum函数的核心在subscripts表达式中，这个表达式指定了各个张量的操作方式。在此例中，i代表张量a和张量b中的各个元素。
2、批量矩阵乘法
批量矩阵乘法是指多个矩阵的乘法。在深度学习中，批量矩阵乘法也是一个非常重要的运算，常用于神经网络的前向传递和反向传播。
a = np.ones((5, 3, 4))
b = 2 * np.ones((5, 4, 2))
c = np.einsum('ijk,ikl->ijl', a, b)
print(c.shape)
#输出结果：(5,3,2)在上面的例子中，我们通过subscripts的ijk,ikl->ijl来定义矩阵乘法的形式。ijk代表a张量中的第一维、第二维、第三维；ikl代表b张量中的第一维、第二维、第三维。最后的ijl表示输出的张量维度，这里是第一维、第二维、第三维。经过这样的操作，我们可以实现五个矩阵的批量乘法。
3、矩阵转置
矩阵转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。在numpy中，可以使用transpose、T等函数来实现矩阵转置，但是用Einsum也有一份不俗的效果。
a = np.arange(20).reshape((4, 5))
b = np.einsum('ji->ij', a)
print(b.shape)
#输出结果：(5,4)在上面的例子中，我们通过subscripts的ji->ij来定义矩阵转置的形式。ji代表a张量中的第一维、第二维，箭头指向左边，表示对a进行转置，输出的张量是ij。最后的结果就是a的转置矩阵。
4、张量转置
张量转置是将张量的维度顺序重新排列。在numpy中，可以使用transpose、swapaxes、reshape等函数来实现张量转置，但是用Einsum也有一份不俗的效果。
a = np.ones((2,3,4))
b = np.einsum('ijk->ikj', a)
print(b.shape)
#输出结果：(4,3,2)在上面的例子中，我们通过subscripts的ijk->ikj来定义张量转置的形式。ijk代表a张量中的第一维、第二维、第三维，箭头指向右边，表示要调换第一维和第三维，输出的张量是ikj。最后的结果就是a张量的维度调换之后得到的矩阵。
5、元素级乘积（Hadamard乘积）
元素级乘积指针对两个张量中同一位置的元素进行乘积，得到的结果组成一个同样大小的张量。在numpy中，可以使用multiply、*等函数来实现元素级乘积，但是用Einsum也有一份不俗的效果。
a = np.arange(12).reshape((2,3,2))
b = np.ones((2,3,2))
c = np.einsum('ijk,ijk->ijk', a, b)
print(c.shape)
#输出结果：(2,3,2)
在上面的例子中，我们通过subscripts的ijk,ijk->ijk来定义元素级乘积的形式。ijk代表a张量中的第一维、第二维、第三维，箭头指向右边，表示对两个张量图进行元素级相乘，输出的张量依旧是ijk。最后的结果就是两个张量元素级相乘得到的张量。
四、Einsum函数的性能
在numpy中，Einsum函数是极其高效的，原因在于它使用了非常高效的C语言代码，尤其是在处理高维张量和批量操作时，Einsum要比常规循环的代码高效很多。
Einsum在实现一些特定的计算任务时，其性能可以超越TensorFlow、PyTorch等框架，比如矩阵乘积、矩阵转置和元素级乘积。此外，Einsum还支持向量化操作，可以利用CPU和GPU的高并行性，极大地提高计算效率。
五、总结
Einsum是一个非常强大的通用函数，可以用来实现多种复杂的张量计算，尤其适合在神经网络、图像处理等领域中使用。它的核心在subscripts表达式中，需要掌握一定的表达式技巧。除此之外，Einsum函数还非常高效，可以优化许多计算任务。