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作为亚纯函数理论的应用我们来给出$mathbb C$的全纯自同构群和$mathbb C_{infty}$的亚纯自同构群:\
{heiti 1.}~~~~设$fin {m Aut}mathbb C)$,那么$f$和$f^{-1}$均为整函数.如果$infty$是可去奇点,那么$f$常值,这不可能.而如果$infty$是$f$的本性奇点,根据Weierstrass定理,对任意的$Ainmathbb C_{infty}$,存在点列$z_n oinftyn oinfty)$ 使得$$
lim_{n oinfty}fz_n)=A
$$
如果记$w_n=fz_n)$,那么$$
f^{-1}A)=lim_{n oinfty}f^{-1}w_n)=lim_{n oinfty}z_n=infty
$$
这说明$A$是$f^{-1}$的奇点,与$f^{-1}$是整函数矛盾!因此$infty$只能是$f$的极点,从而$f$必然为多项式,再由单叶性知${m deg}f=1$.另一方面对任意的一次多项式$$fz)=az+b,a
eq0$$
显然$fin{m Aut}mathbb C)$,综上可得$$
{m Aut}mathbb C)={az+b:a,binmathbb C ,a
eq0}
$$
{heiti 2.}~~~~如果在$mathbb C_{infty}$中讨论,那么${m Aut}mathbb C_{infty})$中的元素不再是全纯函数,而是亚纯函数,换言之这里允许$f$有一个极点并且是$1$阶的.此时$infty$为$f$的极点或者可去奇点,从而$f$必然为有理函数,再由他的单叶性可知$f$只能是分式线性变换;另一方面显然任一分式线性变换都是$mathbb C_{infty}$的亚纯自同构,即$$
{m Aut}mathbb C_{infty})=left{frac{az+b}{cz+d}:ad-bc
eq0ight}
$$
我们考虑如下映射:egin{align*}
varphi:{m SL}_2mathbb C)& o{m Aut}mathbb C_{infty})\
leftegin{matrix}a&b\c&dend{matrix}ight)&mapstofrac{az+b}{cz+d}
end{align*}
其中${m SL}_2mathbb C)=left{Ain M_2mathbb C):{m det}A=1ight}$,不难验证$varphi$是一个群的满同态且$$
{m Ker}varphi={E,-E}
$$
其中$E$是$2$阶单位阵,根据群同态基本定理$$
{m Aut}mathbb C_{infty})simeq{m SL}_2mathbb C)/left{E,-Eight} riangleq:{m PSL}_2mathbb C)
$$
{heiti 3}~~~~不妨再来看看上半平面的情形,今后我们用$mathbb H$表示上半平面,即$$
mathbb H=left{zinmathbb C:{m Im}z>0 ight}
$$
我们来考虑${m Aut}mathbb H)$的结构,注意到全纯函数的开映射性质不难得出$fmathbb R)=mathbb R$,按照如下复合过程egin{align*}
B0,1)&mathopightarrowlimits^{varphi}mathbb Hmathopightarrowlimits^{f}mathbb Hmathopightarrowlimits^{phi}B0,1)\
0&mapsto amapsto bmapsto 0
end{align*}
这里$a,binmathbb H$.显然这样的$varphi,phi$是存在的,事实上$$
varphi^{-1}z)=frac{z-a}{z-overline{z}},phiz)=frac{z-b}{z-overline b}Rightarrowphi^{-1}z)=frac{zoverline{b}-b}{z-1}
$$
显然$g=phicirc fcircvarphiin {m Aut}B0,1))$且$g0)=0$,从而存在$ hetainmathbb R$使得egin{align*}
phicirc fcircvarphiz)&=e^{i heta}z\
Rightarrow fz)&=phi^{-1}lefte^{i heta}varphi^{-1}z)ight)\
&=frac{lefte^{i heta}overline b-bight)z+boverline a-e^{i heta}aoverline b}{lefte^{i heta}-1ight)z+overline a-e^{i heta}a}
end{align*}
注意到$$
A=frac{e^{i heta}overline b-b}{e^{i heta}-1}inmathbb R,B=frac{boverline a-e^{i heta}aoverline b}{e^{i heta}-1}inmathbb R,D=frac{overline a-e^{i heta}a}{e^{i heta}-1}inmathbb R
$$
并且$AD-B
eq0$,不难得出$$
{m Aut}mathbb H)=left{frac{az+b}{cz+d}:a,b,c,dinmathbb R ext{且}ad-bc
eq0ight}
$$
同样的方法利用群同态基本定理可以得到$$
{m Aut}mathbb H)simeq{m SL}_2mathbb R)/{E,-E} riangleq:{m PSL}_2mathbb R)
$$