一、LQR算法介绍
线性二次调节（LQR）算法是一种广泛使用的控制器设计方法。它可以使状态变量趋向于零，同时确保控制输入在规定的范围内。LQR是一个优秀的控制器设计方法，因为它的高效性和卓越的性能，应用于工业、机器人控制、能源系统控制等领域。
二、LQR算法原理
LQR算法的基本思想是，设计一个线性反馈控制器，使得系统的性能指标（如能量消耗或轨迹跟踪误差）最小化。这些性能指标通常被表示为代价函数或成本函数，它们量化系统行为的响应。
LQR算法的数学原理在于寻找一个最优的线性反馈控制器矩阵，使得系统的状态最小化。与传统的最小二乘法不同，LQR算法考虑的是系统状态的方差、协方差矩阵，并且将加权控制器的方差和状态方差加权结合为代价函数（cost function）进行优化。
三、LQR算法实现步骤
1. 建立系统模型
在应用LQR算法之前，需要先建立系统的状态空间模型。通常，系统的状态空间模型可以用以下形式表示：
ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du
其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量，A,B,C,D是常数矩阵。
2. 定义性能指标
接下来，我们需要定义代价函数J，用于量化控制器性能。代价函数通常采用二次形式表示，如下：
J = ∫[0,∞] (xTQx + uTRu) dt
其中Q和R都是正定半矩阵。代价函数值越小，表示控制器的性能越好，反之亦然。
3. 构造LQR控制器矩阵
为了最小化代价函数，需要找到最优的K矩阵。LQR算法可以通过Riccati方程得到最优的反馈增益矩阵K，如下：
P = ATPA - ATPB(R + BTPB)-1BTPA + Q K = -(R + BTPB)-1BTPA
其中，P是代价函数的值得到的正定半矩阵。K是最优的反馈增益矩阵，它可以通过对P的解析表达式求解得到。一旦得到了K，我们就可以构造控制器矩阵，如下：
u = -Kx
4. 实现LQR控制器
最后，我们将LQR控制器矩阵应用于系统，实现所需的控制效果。控制器可以通过对状态变量进行反馈来控制系统。例如，在单个机器人的情况下，我们可以通过机器人位置和速度来控制它的运动。在控制器中，反馈增益矩阵K相当于权重或平衡因子，帮助我们管理控制器的输出，以达到所需的控制效果。
四、示例代码
1. 建立系统模型
import numpy as np
# 定义状态空间模型：
def system_dynamics(t, x, u):
# 参数
m = 1.0
k = 1.0
b = 0.5
# 状态空间矩阵
A = np.array([[0.0, 1.0], [-k/m, -b/m]])
B = np.array([[0.0], [1/m]])
x_dot = np.dot(A, x) + np.dot(B, u)
return x_dot
# 定义初始状态和控制输入
x0 = np.array([[1], [0]])
u = np.array([[-1]])
2. 定义性能指标
# 定义代价函数
Q = np.array([[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]])
R = np.array([[0.5]])
def cost_function(x, u):
return np.dot(np.dot(x.T, Q), x) + np.dot(np.dot(u.T, R), u)
3. 构造LQR控制器矩阵
# 计算P from scipy.linalg import solve_continuous_are P = np.array([[ 4.95, -0.12], [-0.12, 1.07]]) # 计算K B = np.array([[0.0], [1/m]]) K = np.dot(-np.linalg.inv(R + np.dot(np.dot(B.T, P), B)), np.dot(np.dot(B.T, P), A))
4. 实现LQR控制器
# 应用LQR控制器，控制机器人
t_sim = np.linspace(0, 5)
data = []
for t in t_sim:
u = np.dot(K, x0)
x_dot = system_dynamics(t, x0, u)
x0 = x0 + x_dot * 0.1
data.append(np.hstack((x0, u)))
五、小结
LQR算法是一种常用的控制器设计方法，它可以使系统变量趋向于零，并控制输入在规定的范围内。LQR算法的实现需要步骤的构建系统模型、定义性能指标、构造LQR控制器矩阵、实现LQR控制器。通过这些步骤，我们可以根据应用的要求来设计具有高效性和卓越性能的控制器。