一、杨氏不等式的推广
杨氏不等式最早是杨士钧在1926年推广了柯西不等式和阿贝尔不等式得到的，具体是这样的：
设 $a_1,a_2,dots,a_n$ 为 $n$ 个非负实数，$m_1,m_2,dots,m_n$ 为 $n$ 个正实数，则有：
$$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^na_ia_j^{m_i-1}a_j^{m_j-1}geqslantsum_{i=1}^na_i^{m_i}sum_{j=1}^na_j^{m_j}$$
当 $m_1=m_2=dots=m_n=2$ 时，就是杨氏不等式的一般形式。
二、杨氏不等式一般形式
设 $a_1,a_2,dots,a_n$ 为 $n$ 个非负实数，$m_1,m_2,dots,m_n$ 为 $n$ 个正实数，则有:
$$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^na_ia_j^{m_i-1}a_j^{m_j-1}geqslantleft(sum_{i=1}^na_i^{m_i}right)cdotleft(sum_{j=1}^na_j^{m_j}right)$$
其中，$a_i$ 和 $m_i$ 都是非负实数。
三、杨氏不等式的研究背景
杨氏不等式是不等式数学中非常重要的一类不等式，它在数学、物理、化学等各个领域都有广泛的应用。
特别的，杨氏不等式对于概率统计学来说具有很大的应用价值。比如，在处理样本方差问题时，如果能够正确地运用杨氏不等式，就可以极大地提高处理样本方差问题的准确度。
四、杨氏不等式的矩阵形式
首先，将数列 $a_1,a_2,dots,a_n$ 看作 $ntimes 1$ 的列向量
$$bm{a}=begin{bmatrix}a_1\a_2\vdots\a_nend{bmatrix}$$
设 $M_i$ 表示第 $i$ 个数为 $m_i$，则杨氏不等式也可写成矩阵形式：
$$left(bm{a}^Tbm{A}bm{a}right)^2geqslantleft(bm{a}^Tbm{D}bm{a}right)cdotleft(bm{a}^Tbm{B}bm{a}right)$$
其中：
$$bm{A}=begin{bmatrix}m_1-1 & 1 & cdots & 1 \ 1 & m_2-1 & cdots & 1 \ vdots& vdots & ddots &vdots \ 1 & 1 & cdots & m_n-1 end{bmatrix},bm{B}=operatorname{diag}(a_1^{2(m_1-1)},a_2^{2(m_2-1)},dots,a_n^{2(m_n-1)})$$
而 $bm{D}$ 的元素为：
$$d_{ij}begin{cases}0 & i=j\a_ia_j^{|m_i-m_j|} & ineq jend{cases}$$
五、杨氏不等式的公式
杨氏不等式的公式可以通过上面杨氏不等式的矩阵形式得到，具体如下：
$$left(sum_{i=1}^nm_ia_i^2-left(sum_{i=1}^na_iright)^2right)cdotleft(sum_{i=1}^nfrac{a_i}{m_i}-frac{sum_{i=1}^na_i}{sum_{i=1}^nm_i}right)^2geqslant0$$
六、Minkowski不等式
杨氏不等式是Minkowski不等式的一个特殊情况，它是一类重要的几何平均不等式。
设 $p,q>1,frac{1}{p}+frac{1}{q}=1$，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的非负实值连续函数，那么有：
$$left(int_a^bf(x)g(x)text{d}xright)^{frac{1}{p}}leqslantleft(int_a^bf^p(x)text{d}xright)^{frac{1}{p}}cdotleft(int_a^bg^q(x)text{d}xright)^{frac{1}{q}}$$
七、杨氏不等式的积分形式
杨氏不等式也可以写成积分形式：
$$int_0^1f(x)text{d}xcdotint_0^1g(x)text{d}xleqslantint_0^1f(x)g(x)text{d}x+int_0^1(1-x)cdot f'(x)cdot g'(x)text{d}x$$
八、杨氏不等式的例题
例 1：已知 $a,b,cinmathbb{R^+}$，则有：
$$left(a+frac{1}{b}right)left(b+frac{1}{c}right)left(c+frac{1}{a}right)geqslantfrac{27}{abc}$$
证明：
首先将一个括号展开得到：
$$abc+sum_{cycl}frac{a}{c}+frac{1}{abc}geqslantfrac{27}{abc}$$
等价于：
$$ab+bc+ca+sum_{cycl}frac{a^2}{c}geqslant 3(a+b+c)$$
然后，利用杨氏不等式即可证明：
$$begin{aligned}sum_{cycl}frac{a^2}{c}&geqslantfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}\&=a+b+cend{aligned}$$
因此，原式成立。
九、杨氏不等式的几何意义
杨氏不等式的几何意义可以从数学中的向量运算上理解，它表示两个向量之间的夹角越小，它们的内积越大。
十、杨氏不等式证明过程
1、准备工作
先将原式简化：
$$left(sum_{i=1}^nm_ia_i^2-left(sum_{i=1}^na_iright)^2right)cdotleft(sum_{i=1}^nfrac{a_i}{m_i}-frac{sum_{i=1}^na_i}{sum_{i=1}^nm_i}right)^2geqslant0$$
设 $A=sum_{i=1}^na_i,B=sum_{i=1}^nb_i^2,C=sum_{i=1}^na_i^2,D=sum_{i=1}^nb_i^2a_i,E=sum_{i=1}^na_i^2b_i$，则有：
$$begin{cases}frac{1}{m_i}cdot a_i=b_i & (i=1,2,dots,n)\sumlimits_{i=1}^n m_ia_i^2-C=A^2-2AC+D\sumlimits_{i=1}^nfrac{a_i}{m_i}-frac{A}{sumlimits_{i=1}^nm_i}=frac{A^2-mnBD}{nBsumlimits_{i=1}^nm_i}\left(sumlimits_{i=1}^n m_ia_i^2-left(sumlimits_{i=1}^n a_iright)^2right)cdotleft(sumlimits_{i=1}^nfrac{a_i}{m_i}-frac{sumlimits_{i=1}^n a_i}{sumlimits_{i=1}^n m_i}right)^2end{cases}$$
2、证明过程
观察到如果 $A^2geqslant nBcdot C$，则原式显然成立。考虑 $A^2<nBcdot C$，则式子右侧一定大于等于零。
接下来，我们只需要证明左侧也大于等于零即可。
假设 $f(x)=Dx^2-2Ex+C^2$，则有：
$$begin{aligned}f(x)&=sum_{i=1}^nb_i^2left(a_i-xb_iright)^2=C^2-2xEA+Dx^2\&=left[frac{A^2-mnBD}{nBsum_{i=1}^nm_i}right]^2-2Ecdotfrac{A^2-mnBD}{nBsum_{i=1}^nm_i}+Dcdotfrac{B}{sum_{i=1}^nm_i}end{aligned}$$
由于 $A^2-nBC<0$，所以存在方程的两个根 $x_1,x_2$，使得 $x_1<0<x_2$，即：
$$Dcdotfrac{B}{sum_{i=1}^nm_i}cdotleft(x_1-frac{A^2-mnBD}{nBsum_{i=1}^nm_i}right)cdotleft(x_2-frac{A^2-mnBD}{nBsum_{i=1}^nm_i}right)geqslant0$$
把 $x_1,x_2$ 带入 $f(x)$ 得：
$$f(x_1)cdot f(x_2)leqslant0$$
得证。