为什么特征值的重数大于等于线性无关特征向量的个数

宝塔服务器面板，一键全能部署及管理，送你10850元礼包，点我领取

特征值的重数与线性无关特征向量的个数的关系

关系就是，特征值的重数 ≥ 该特征值的线性无关向量的个数 ≥ 1

量化关系有

特征值的重数，称为代数重数，等于Jordan矩阵中特征值为λ的Jordan块的阶数之和

特征向量的个数，称为几何重数，等于Jordan矩阵中特征值为λ的Jordan块的个数

证明

先说结论

每个矩阵等价于一个标准形

$A≅Er000)A\cong\begin{pmatrix} E_r\quad 0 \\ 0 \quad 0\end{pmatrix}$

每个矩阵相似于一个Jordan标准形

$A∼J=λ1σλ2σλ3σ⋱λn)niσ=0or1A\sim J=\begin{pmatrix}& \lambda_1 & \sigma & & & &\\& & \lambda_2 & \sigma & & &\\& & & \lambda_3 & \sigma & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \lambda_n &\\\end{pmatrix}_{n_i}\\\sigma=0~or~1$

当矩阵A相似的Jordan标准形中的所有的 $σ\sigma$ 都=0时，Jordan标准形就是对角矩阵，矩阵可对角化，此时的Jordan标准形就是可对角化的对角矩阵 $Λ\Lambda$ 。

也就是每个Jordan块都是1阶的时候，矩阵可以对角化。

此时的量化关系就是，代数重数=几何重数，n个特征值的特征向量都是线性无关的。

现在来证明一下这个结论。

为什么当 $σ=0\sigma=0$ 的时候，代数重数=几何重数。

代数重数

对于特征值 $λ=η\lambda=\eta$ 的重数，即代数重数。就是 $φλ)=∣A−λE∣\varphi\lambda)=|A-\lambda E|$ 中 $η−λ)k\eta-\lambda)^k$ 的k次方。

因为，A与J相似，则A与J的特征多项式相等。

证明： $J−λE=P−1AP−λP−1EP=P−1A−λE)P\ J-\lambda E = P^{-1}AP-\lambda P^{-1}EP = P^{-1}A-\lambda E)P$

$∣J−λE∣=∣P−1∣∣A−λE∣∣P∣=1∣P∣∣A−λE∣∣P∣\ |J-\lambda E| = |P^{-1}|\ |A-\lambda E|\ |P| = \dfrac{1}{|P|}\ |A-\lambda E|\ |P|$

所以，代数重数就是 $∣J−λE∣|J-\lambda E|$ 中 $η−λ)k\eta-\lambda)^k$ 的k次方。
$∣J−λE∣=∣λ1−λσλ2−λσλ3−λσ⋱λn−λ∣nσ=0or1|J-\lambda E|=\begin{vmatrix} & \lambda_1-\lambda & \sigma & & & &\\ & & \lambda_2-\lambda & \sigma & & &\\ & & & \lambda_3-\lambda & \sigma & &\\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & \lambda_n-\lambda &\\ \end{vmatrix}_{n}\\ \sigma=0~or~1$
$∣J−λE∣|J-\lambda E|$ 是一个上对角矩阵，因此，只要看对角线上乘积的结果，就可以得到 $η−λ)k\eta-\lambda)^k$ 的k值。

用Jordan块的方式表示如下

$∣J−λE∣=∣J1−λEJ2−λEJ3−λE⋱Jn−λE∣n|J-\lambda E| =\begin{vmatrix} & J_1-\lambda E & & & & &\\ & & J_2-\lambda E & & & &\\ & & & J_3-\lambda E & & &\\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & J_n-\lambda E &\\ \end{vmatrix}_{n}\\$

对于一个单个的Jordan块

$∣Ji−λE∣=∣λi−λ1λi−λ1λi−λ1⋱λi−λ∣nini是初等因子中λi−λ)ni的次数|J_i-\lambda E|=\begin{vmatrix}& \lambda_i-\lambda & 1 & & & &\\& & \lambda_i-\lambda & 1 & & &\\& & & \lambda_i-\lambda & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \lambda_i-\lambda &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\n_i是初等因子中\lambda_i-\lambda)^{n_i}的次数$
介绍到这里我们就可以得出结论了，对于Jordan标准型，代数重数是 $∣J−λE∣|J-\lambda E|$ 中 $η−λ)k\eta-\lambda)^k$ 的k次方。而对于Jordan块，对于 $λi=η\lambda_i=\eta$ 的Jordan块， $λi=η\lambda_i=\eta$ 的代数重数是Jordan块的重数 $n_{i}$ ；对于对于 $λi≠η\lambda_i \ne \eta$ 的Jordan块，则 $λi=η\lambda_i=\eta$ 的代数重数就是0。

因此，代数重数就是 $λi=η\lambda_i=\eta$ 的Jordan块的阶数之和（当然仅靠观察也可以得出这个结论）
$r=∑i=1knir是特征值η的重数，k是λi=η的Jordan块的个数)r=\sum_{i=1}^{k}n_{i}r是特征值\eta的重数，k是\lambda_i=\eta的Jordan块的个数)$

几何重数

对于特征值 $λ=η\lambda=\eta$ 的线性无关的特征向量的个数，即几何重数。就是 $∣A−ηE∣X=O|A-\eta E|X=O$ 的齐次方程的基础解系的个数，自由变量的个数。也就是特征多项式 $∣A−ηE∣|A-\eta E|$ 中全为0的行的个数，几何重数= $n−RA−ηE)n-RA-\eta E)$

这时我们就发现， $当λi=η时当\lambda_i=\eta时$ 一个Jordan块只能得到一个全零行，一个自由变量，一个线性无关的解向量；当 $λi≠η\lambda_i \ne \eta$ 时，必然没有一个全0行
$当λi=η时，最后一行全为0∣Ji−ηE∣=∣η−η1η−η1η−η1⋱η−η∣ni=∣010101⋱0∣ni当\lambda_i=\eta时，最后一行全为0\\|J_i-\eta E|=\begin{vmatrix}& \eta-\eta & 1 & & & &\\& & \eta-\eta & 1 & & &\\& & & \eta-\eta & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \eta-\eta &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\=\begin{vmatrix}& 0 & 1 & & & &\\& & 0 & 1 & & &\\& & & 0 & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & 0 &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\$

$当λi≠η时，必然没有一个全0行∣Ji−ηE∣=∣λi−η1λi−η1λi−η1⋱λi−η∣ni当\lambda_i \ne \eta时，必然没有一个全0行\\|J_i-\eta E|=\begin{vmatrix}& \lambda_i-\eta & 1 & & & &\\& & \lambda_i-\eta & 1 & & &\\& & & \lambda_i-\eta & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \lambda_i-\eta &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\$

因此，几何重数=当 $λi=η\lambda_i=\eta$ 时的Jordan块的个数k。

现在我们就得到了，几何重数和代数重数的量化关系
$几何重数=k代数重数=∑i=1knik是λi=η的Jordan块的个数几何重数=k\\代数重数=\sum_{i=1}^{k}n_{i}\\k是\lambda_i=\eta的Jordan块的个数$
因此当且仅当所有 $n_i=1$ 的时候，几何重数=代数重数，矩阵可对角化。

【概念】Jordan 约旦若尔当)矩阵

https://www.zhihu.com/question/379643506

Jordan矩阵是《矩阵论》《矩阵分析》第一章的内容

任意一个矩阵A都相似于一个Jordan矩阵标准形
$J100Jn)\begin{pmatrix} J_1 \quad 0 \\ 0 \quad J_n\end{pmatrix}$
类似于等价一个标准形
$Er000)\begin{pmatrix} E_r\quad 0 \\ 0 \quad 0\end{pmatrix}$

Jordan 约旦块

上述Jordan标准型的 $J_i$ 就是一个约旦块
$Ji=λi1λi1λi1⋱1λi)其中λ1,λ2,⋯,λn就是对应一个A的特征值J_i= \begin{pmatrix} & \lambda_i & 1 & & & &\\ & & \lambda_i & 1 & & &\\ & & & \lambda_i & 1 & &\\ & & & & \ddots & 1 &\\ & & & & & \lambda_i &\\ \end{pmatrix}\\ 其中\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}就是对应一个A的特征值$

Smith标准形

$d1λ)d2λ)d3λ)⋱dnλ))\begin{pmatrix} & d_1\lambda) & & & & &\\ & & d_2\lambda) & & & &\\ & & & d_3\lambda) & & &\\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & d_n\lambda) &\\ \end{pmatrix}\\$

a%b=0，a能被b整除（或说b能整除a）,记作b|a

满足：

后面的可以整除前面的 $dnλ)%dn−1λ)=0或dn−1λ)∣dnλ)d_n\lambda) \% d_{n-1}\lambda)=0 \quad 或 d_{n-1}\lambda) | d_{n}\lambda)$

不变因子

Smith标准形中 $diλ)d_i\lambda)$ 就是不变因子

初等因子

所有不变因子中的关于λ的多项式 $λ−b)kk>0)\lambda-b)^kk>0)$ 都是初等因子

行列式因子

一个矩阵的所有的k阶子式中的首一最大公因式就是，k阶行列式因子， $Dkλ)D_k\lambda)$

首一最大公因子：首项系数是1的最大公因式，也就是最高次项系数是1的最大公因式。只能是kλ+b

行列式因子可以转化为不变因子
$d1λ)=D1λ)dkλ)=Dkλ)Dk−1λ)d_{1}\lambda) = D_{1}\lambda)\\ d_{k}\lambda) = \dfrac{D_{k}\lambda)}{D_{k-1}\lambda)}$

Jordan标准形的求法

通过初等因子，可以写出Jordan块

比如对于 $λ−2)2λ−1)\lambda-2)^2\lambda-1)$ 可以写出两个Jordan块
$2102)和1)\begin{pmatrix} 2 \quad 1 \\ 0 \quad 2\end{pmatrix} 和1)$
拼起来，得到 Jordan标准型为
$210020001)\begin{pmatrix} 2 \quad 1 \quad 0 \\ 0 \quad 2 \quad 0\\0 \quad 0 \quad 1\end{pmatrix}$
或者
$100021002)\begin{pmatrix}1 \quad 0 \quad 0\\ 0 \quad 2 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \quad 2\\\end{pmatrix}$
Jordan标准形不计排列顺序。

初等因子可以通过两种方式求得，通过初等变换得到Smith标准型，或通过计算行列式因子得到不变因子

1 初等变换法

2 行列式因子法

查看全文

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.dgrt.cn/a/2125002.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系一条长河网进行投诉反馈，一经查实，立即删除！

为什么特征值的重数大于等于线性无关特征向量的个数

特征值的重数与线性无关特征向量的个数的关系
关系就是，特征值的重数 ≥ 该特征值的线性无关向量的个数 ≥ 1
量化关系有
特征值的重数，称为代数重数，等于Jordan矩阵中特征值为λ的Jordan块的阶数之和
特征向量的个数，称为几何……

编程日记2023/3/31 11:43:06

linux基于centos7，使用二进制文件的方式安装部署单节点kubernetes的详细教程2.0

linux基于centos7，使用二进制文件的方式安装部署单节点kubernetes的详细教程
1.安装必要的软件包
在开始安装 Kubernetes 之前，需要安装一些必要的软件包和工具，以确保 Kubernetes 可以正常运行。
sudo yum install -y yum-utils device-m……

编程日记2023/3/31 11:42:56

Tensorflow-gpu保姆级安装教程（Win11, Anaconda3，Python3.9）

Tensorflow-gpu 保姆级安装教程（Win11, Anaconda3，Python3.9）前言Tensorflow-gpu版本安装的准备工作一)、查看电脑的显卡：二) 、Anaconda的安装三)、cuda下载和安装四)、cudnn下载安装五)、配置环境变量六)、创建 tensorflo……

编程日记2023/3/31 11:42:38

在CentOS 7上使用二进制文件安装单节点Kubernetes的详细步骤：

确保您的系统已经安装了Docker和etcd。如果没有，请按照以下命令安装它们：
yum install docker etcd
启动Docker服务并将其设置为开机自启：
systemctl start docker
systemctl enable docker
下载所需的Kubernetes二进制文件。您可以从以下网……

编程日记2023/3/31 11:42:25

Vue表单双绑、组件

表单双绑、组件
1、什么是双向数据绑定
Vue.js是一个MVVM框架，即数据双向绑定,即当数据发生变化的时候,视图也就发生变化，当视图发生变化的时候，数据也会跟着同步变化。这也算是Vue.js的精髓之处了。
值得注意的是，我们所……

编程日记2023/3/31 11:42:11

Bezier Curve 贝塞尔曲线 – 在Unity中实现路径编辑

文章目录简介一阶贝塞尔曲线二阶贝塞尔曲线三阶贝塞尔曲线图形理解 Bezier Curve一阶贝塞尔曲线二阶贝塞尔曲线三阶贝塞尔曲线应用Bezier CurveSimpleBezierCurvePathSimpleBezierCurvePathAlonger简介
贝塞尔曲线（Bezier Curve），又称贝兹曲……

编程日记2023/3/31 11:42:02

如何评价2023美赛春季赛YZ题加赛大学生数学建模

作为之前数模国奖美赛F的选手，这次得空会更新下今年美赛相关的免费思路，并给出直播答疑，欢迎蹲坑，欢迎一起交流~将在本帖更新2023美国大学生数学建模数模美赛各个赛题思路，大家可以点赞收藏！
一、参赛报名……

编程日记2023/3/31 11:41:53

CentOS8提高篇20：Centos8实现扩展存储空间

有时候，虚拟机随着使用，会导致存储不够，这时就需要给虚拟机扩容。扩容的前提是，此虚拟机没有快照。扩容时，需要编辑虚拟机设置。为了形成对比，第一张图片是扩容前，第二张图片是扩容成功……

编程日记2023/3/31 11:41:43

unity的C#学习——属性、索引器和this关键字

文章目录C# 属性1、定义属性2、自动属性3、抽象属性4、只读属性和初始化器C# this关键字C# 索引器1、索引器的定义2、重载索引器3、多参数索引器C# 属性
在 C# 中，属性（Property）是一种特殊的成员，它允许我们通过访问器&#xff……

编程日记2023/3/31 11:41:31

合宙Air780E|ScreenStream|图传|LuatOS-SOC接口|学习（23）：4G远程遥控小车（2）-图传设置及解析

目录基础资料
原项目地址
实现功能：
前文：
图传设置及解析
概述
提示
软件亮点操作步骤
4G小车控制前端相关代码
图传显示函数：
按钮及显示框
待解决问题：小车图传前端不能正常显示基础资料
基于Air780E开发板&……

编程日记2023/3/31 11:41:22

学会这些终端快捷键，让你在Linux上的操作快100倍

🪶 简述 Linux命令行的许多快捷键与GNU/Emacs编辑器非常像，因此我十分建议可以学习学习emacs编辑器，来了解或发现更多的命令行快捷键。点此访问emacs官网点此访问emacs中国（论坛）简述一下Emacs:Emacs’一切皆快捷键……

编程日记2023/4/16 14:54:43

手把手教你Temporal Fusion Transformer——Pytorch实战

建立了一个关于能源需求预测的端到端项目：如何为 TFT 格式准备我们的数据。如何构建、训练和评估 TFT 模型。如何获取对验证数据和样本外预测的预测。如何使用built-in model的可解释注意力机制计算特征重要性、季节性模式和极端事件鲁棒性。
什么是Temporal F……

编程日记2023/4/16 14:54:30

【Java开发】设计模式 12：解释器模式

1 解释器模式介绍
解释器模式是一种行为型设计模式，它提供了一种方法来解释语言、表达式或符号。
在该模式中，定义了一个表达式接口，并实现了对应的表达式类，这些类可以解释不同的符号组成的表达式，从而实现对语言的……

编程日记2023/4/16 14:54:05

反序列化渗透与攻防五)之shiro反序列化漏洞

Shiro反序列化漏洞
Shiro介绍
Apache Shiro是一款开源安全框架，提供身份验证、授权、密码学和会话管理。Shiro框架直观、易用，同时也能提供健壮的安全性
Apache Shiro 1.2.4及以前版本中，加密的用户信息序列化后存储在名为remember-me的Cookie中。攻击者可以使用Shiro的默……

编程日记2023/4/16 14:52:13

vue2+vue3

vue2vue3尚硅谷vue2vue2 课程简介【02:24】vue2 Vue简介【17:59】vue2 Vue官网使用指南【14:07】vue2 搭建Vue开发环境【13:54】vue2 Hello小案例【22:25】了解：不常用常用：id 更常用简单class差值总结vue 实例vue 模板：先取 &#xff0……

编程日记2023/4/16 14:52:00

【hello Linux】环境变量

目录 1. 环境变量的概念 2. 常见的环境变量 3. 查看环境变量 4. 和环境变量相关的命令 5. 环境变量的组织方式 6. 通过代码获取环境变量 7. 通过系统调用获取环境变量 Linux🌷 在开始今天的内容之前，先来看一幅图片吧！不知道你们是否和我一……

编程日记2023/4/16 14:51:36

【Linux基础】常用命令整理

ls命令
-a选项，可以展示隐藏的文件和文件夹-l选项，以列表形式展示内容-h，需要和-l搭配使用，可以展示文件的大小单位ls -lah等同于la -a -l -h
cd命令（change directory）
语法：cd [Linux路径]……

编程日记2023/4/16 14:51:26

客快物流大数据项目（一百一十二）：初识Spring Cloud

文章目录
初识Spring Cloud
一、Spring Cloud简介
二、SpringCloud 基础架构图…

编程日记2023/4/16 14:51:11

C和C++中的struct有什么区别

区别一： C语言中： Struct是用户自定义数据类型（UDT）。 C语言中： Struct是抽象数据类型（ADT），支持成员函数的定义。
区别二：
C中的struct是没有权限设置的&#xff0c……

编程日记2023/4/16 14:50:59

docker的数据卷详解

数据卷数据卷是宿主机中的一个目录或文件，当容器目录和数据卷目录绑定后，对方修改会立即同步
一个数据卷可以同时被多个容器同时挂载，一个容器也可以被挂载多个数据卷
数据卷作用：容器数据持久化 /外部机器和容器间接通信 /容器……

编程日记2023/4/16 14:50:50

为什么特征值的重数大于等于线性无关特征向量的个数

特征值的重数与线性无关特征向量的个数的关系

证明

先说结论

代数重数

几何重数

【概念】Jordan 约旦若尔当)矩阵

Jordan 约旦块

Smith标准形

不变因子

初等因子

行列式因子

Jordan标准形的求法

1 初等变换法

2 行列式因子法

相关文章：

为什么特征值的重数大于等于线性无关特征向量的个数

linux基于centos7，使用二进制文件的方式安装部署单节点kubernetes的详细教程2.0

Tensorflow-gpu保姆级安装教程（Win11, Anaconda3，Python3.9）

在CentOS 7上使用二进制文件安装单节点Kubernetes的详细步骤：

Vue表单双绑、组件

Bezier Curve 贝塞尔曲线 – 在Unity中实现路径编辑

如何评价2023美赛春季赛YZ题加赛 大学生数学建模

CentOS8提高篇20：Centos8实现扩展存储空间

unity的C#学习——属性、索引器和this关键字

合宙Air780E|ScreenStream|图传|LuatOS-SOC接口|学习（23）：4G远程遥控小车（2）-图传设置及解析

学会这些终端快捷键，让你在Linux上的操作快100倍

手把手教你Temporal Fusion Transformer——Pytorch实战

【Java开发】设计模式 12：解释器模式

反序列化渗透与攻防五)之shiro反序列化漏洞

vue2+vue3

【hello Linux】环境变量

【Linux基础】常用命令整理

客快物流大数据项目（一百一十二）：初识Spring Cloud

C和C++中的struct有什么区别

docker的数据卷详解

电脑贴纸好不好电脑贴贴纸好还是不贴好

农村养什么比较赚钱回本快（适合穷人没本钱的养殖）

最新文章

松山湖开会别迟到：华为 HDC 2024 开发者大会售票网站上线，鸿蒙星河版将开启 Beta 测试

标签云

关注我们 么么哒！

关注我们的公众号

如何评价2023美赛春季赛YZ题加赛大学生数学建模

关注我们么么哒！